Se as duas superfícies dadas interceptam-se numa curva, ache as equações da reta tangente à curva de intersecção no ponto dado.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos as equações da reta tangente à curva de intersecção de duas superfícies no ponto dado . Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre superfícies e suas curvas de intersecção. Para resolver, vamos precisar calcular os gradientes das superfícies e usar o produto vetorial para achar a direção da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas superfícies dadas:
Essas equações definem duas superfícies no espaço tridimensional, e a curva de intersecção é onde essas duas superfícies se encontram.
Passo 3
Para achar a reta tangente na curva de intersecção no ponto , precisamos encontrar os vetores normais a cada superfície nesse ponto. Esses vetores normais são os gradientes das funções que definem as superfícies.
Vamos reescrever as equações das superfícies na forma :
Passo 4
Agora, calculamos os gradientes de e :
Calculando as derivadas parciais:
Para :
Para :
Passo 5
Avaliando os gradientes no ponto :
Para :
Então,
Para :
Então,
Passo 6
A direção da reta tangente à curva de intersecção é perpendicular a ambos os gradientes. Para encontrar essa direção, calculamos o produto vetorial dos gradientes:
Calculando:
Passo 7
Com o vetor direcional e o ponto dado , podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente: