Se as duas superfícies dadas interceptam-se numa curva, ache as equações da reta tangente à curva de intersecção no ponto dado.
e) y = e^x * sen(2 * pi * z) + 2, z = y^2 - ln(x + 1) - 3 ; (0, 2, 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos as equações da reta tangente à curva de intersecção de duas superfícies no ponto dado . Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre superfícies e suas curvas de intersecção. Para resolver, vamos precisar calcular os gradientes das superfícies e usar o produto vetorial para achar a direção da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas superfícies dadas:
Essas equações definem duas superfícies no espaço tridimensional, e a curva de intersecção é onde essas duas superfícies se encontram.

Passo 3

Para achar a reta tangente na curva de intersecção no ponto , precisamos encontrar os vetores normais a cada superfície nesse ponto. Esses vetores normais são os gradientes das funções que definem as superfícies.
Vamos reescrever as equações das superfícies na forma :

Passo 4

Agora, calculamos os gradientes de e :
Calculando as derivadas parciais:
Para :
Para :

Passo 5

Avaliando os gradientes no ponto :
Para :
Então,
Para :
Então,

Passo 6

A direção da reta tangente à curva de intersecção é perpendicular a ambos os gradientes. Para encontrar essa direção, calculamos o produto vetorial dos gradientes:
Calculando:

Passo 7

Com o vetor direcional e o ponto dado , podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente:
Onde é o parâmetro.

Resposta

As equações paramétricas da reta tangente são:

Exercícios relacionados

Nos exercícios 7 - 14, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo y, das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir.
y = x, y = -x / 2, x = 2
Ache uma equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície no ponto indicado.
b) 4x^2 + y^2 + 2z^2 = 26 ; (1, -2, 3)
Um cano rompido em uma plataforma petrolífera do Mar do Norte produz uma mancha de óleo circular que tem y metros de espessura a uma distância x metros do local do vazamento. A turbulência torna difícil medir diretamente a espessura da mancha no local do vazamento x = 0, mas para x > 0, observa-se que:
y = 0,5 * (x^2 + 3 * x) / (x^3 + x^2 + 4 * x)
Supondo que a distribuição de óleo no mar seja contínua, qual é a espessura estimada no local do vazamento?
Determine os extremos relativos de f, se existirem.
d) f(x, y) = sen(x) + sen(y), 0 <= x <= pi, 0 <= y <= pi