Ache o gradiente de f em P e a taxa de variação dos valores funcionais na direção de U em P.
b) f(x, y) = e^(2xy) ; P = (2, 1) ; U = 4/5 * i - 3/5 * j

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado pede pra gente encontrar o gradiente da função no ponto e, além disso, a taxa de variação dos valores da função na direção de em . Vamos precisar usar cálculo de derivadas parciais para achar o gradiente e depois fazer um produto escalar para achar a taxa de variação na direção dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e . Ele aponta na direção de maior crescimento da função e é dado por:
Então, nosso primeiro passo é calcular essas derivadas parciais.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Agora, a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Com as derivadas parciais, podemos escrever o gradiente da função:
Agora, vamos substituir o ponto nessa expressão para encontrar o gradiente em .

Passo 5

Substituindo e no gradiente:
Então, o gradiente no ponto é .

Passo 6

Agora, vamos calcular a taxa de variação dos valores da função na direção de . Isso é feito fazendo o produto escalar entre o gradiente em e o vetor direção :
Vamos lembrar que .

Passo 7

Fazendo o produto escalar:
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 8

Calculando cada termo:
Agora, somando os dois resultados:

Resposta

O gradiente de no ponto é e a taxa de variação dos valores funcionais na direção de em é .

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