Ache o gradiente de
em
e a taxa de variação dos valores funcionais na direção de
em
.
b)
b)
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado pede pra gente encontrar o gradiente da função
no ponto
e, além disso, a taxa de variação dos valores da função na direção de
em
. Vamos precisar usar cálculo de derivadas parciais para achar o gradiente e depois fazer um produto escalar para achar a taxa de variação na direção dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função
é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
. Ele aponta na direção de maior crescimento da função e é dado por:
Então, nosso primeiro passo é calcular essas derivadas parciais.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Com as derivadas parciais, podemos escrever o gradiente da função:
Agora, vamos substituir o ponto
nessa expressão para encontrar o gradiente em
.
Passo 5
Substituindo
e
no gradiente:
Então, o gradiente no ponto
é
.
Passo 6
Agora, vamos calcular a taxa de variação dos valores da função na direção de
. Isso é feito fazendo o produto escalar entre o gradiente em
e o vetor direção
:
Vamos lembrar que
.
Passo 7
Fazendo o produto escalar:
Vamos simplificar isso passo a passo.
Passo 8
Calculando cada termo:
Agora, somando os dois resultados:
Resposta
O gradiente de
no ponto
é
e a taxa de variação dos valores funcionais na direção de
em
é
.
Exercícios relacionados
Calcule, caso exista,
.
Ache o gradiente da função dada.
c)
c)
Ache uma equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície no ponto indicado.
b)
b)
Nos exercícios
, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo
, das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir.