Ache o valor da derivada direcional no ponto P0 para a função dada na direção e sentido de U.
d) f(x, y, z) = ln(x^2 + y^2 + z^2) ; U = 1/raiz(3) * i - 1/raiz(3) * j - 1/raiz(3) * k ; P0 = (1, 3, 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para achar o valor da derivada direcional da função no ponto na direção e sentido do vetor . Para isso, vamos precisar entender como calcular a derivada direcional usando o gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação às suas variáveis. Ou seja,
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a :
De forma semelhante, as derivadas parciais em relação a e são:
Então, o gradiente fica:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto . Primeiro, calculamos nesse ponto:
Então,

Passo 5

A derivada direcional na direção do vetor é o produto escalar entre o gradiente da função no ponto e o vetor direcional . Ou seja,
Calculando o produto escalar:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é .

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