Ache o valor da derivada direcional no ponto
para a função dada na direção e sentido de
.
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para achar o valor da derivada direcional da função
no ponto
na direção e sentido do vetor
. Para isso, vamos precisar entender como calcular a derivada direcional usando o gradiente da função.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de
em relação às suas variáveis. Ou seja,
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a
:
De forma semelhante, as derivadas parciais em relação a
e
são:
Então, o gradiente fica:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
. Primeiro, calculamos
nesse ponto:
Então,
Passo 5
A derivada direcional na direção do vetor
é o produto escalar entre o gradiente da função no ponto
e o vetor direcional
. Ou seja,
Calculando o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção de
é
.