Considere a sequência a1 = raiz(2), a2 = raiz(2 * raiz(2)), a3 = raiz(2 * raiz(2 * raiz(2))), .... Verifique que a sequência é crescente e limitada superiormente por 2 e calcule seu limite.

Passo 1

Então, temos uma sequência definida assim: , , , e assim por diante. O objetivo aqui é mostrar que essa sequência está sempre aumentando (ou seja, é crescente), que ela nunca passa de 2 (é limitada superiormente por 2) e, finalmente, descobrir qual número ela vai chegar, o seu limite.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a sequência está realmente aumentando. Isso significa que cada termo é maior que o anterior. Vamos comparar com :
Queremos mostrar que . Sabemos que (vamos ver isso depois), então:
E de forma geral, cada novo termo será maior que o anterior, então a sequência é crescente.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a sequência não ultrapassa o número 2. Vamos usar indução para isso.
  • Base da indução: .
  • Hipótese de indução: Suponha que .
  • Passo seguinte: Então,
Assim, por indução, todos os termos da sequência são menores que 2.

Passo 4

Sabemos que a sequência é crescente e está limitada acima por 2. De acordo com o teorema das sequências monótonas, toda sequência que é crescente e limitada superiormente converge para um limite finito. Vamos chamar esse limite de .

Passo 5

Para encontrar o valor de , assumimos que, quando vai para o infinito, e ambos tendem para . Então,
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Subtraindo de ambos os lados:
Então, as soluções são ou . Mas como os termos da sequência são sempre maiores que , descartamos e temos .

Resposta

O limite da sequência é 2.

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