Considere a sequência
. Verifique que a sequência é crescente e limitada superiormente por 2 e calcule seu limite.
Passo 1
Então, temos uma sequência definida assim:
,
,
, e assim por diante. O objetivo aqui é mostrar que essa sequência está sempre aumentando (ou seja, é crescente), que ela nunca passa de 2 (é limitada superiormente por 2) e, finalmente, descobrir qual número ela vai chegar, o seu limite.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a sequência está realmente aumentando. Isso significa que cada termo é maior que o anterior. Vamos comparar
com
:
Queremos mostrar que
. Sabemos que
(vamos ver isso depois), então:
E de forma geral, cada novo termo será maior que o anterior, então a sequência é crescente.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a sequência não ultrapassa o número 2. Vamos usar indução para isso.
- Base da indução:
. - Hipótese de indução: Suponha que
. - Passo seguinte: Então,
Assim, por indução, todos os termos da sequência são menores que 2.
Passo 4
Sabemos que a sequência é crescente e está limitada acima por 2. De acordo com o teorema das sequências monótonas, toda sequência que é crescente e limitada superiormente converge para um limite finito. Vamos chamar esse limite de
.
Passo 5
Para encontrar o valor de
, assumimos que, quando
vai para o infinito,
e
ambos tendem para
. Então,
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Subtraindo
de ambos os lados:
Então, as soluções são
ou
. Mas como os termos da sequência são sempre maiores que
, descartamos
e temos
.
Resposta
O limite da sequência é 2.