Se as duas superfícies dadas interceptam-se numa curva, ache as equações da reta tangente à curva de intersecção no ponto dado.
d)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas superfícies que se cruzam numa curva, e precisamos achar a equação da reta tangente a essa curva no ponto específico (0, 2, 2). As superfícies são:
  1. Esfera:
  2. Superfície:
Vamos precisar de conceitos de geometria analítica no espaço e cálculo vetorial, principalmente usando derivadas parciais para encontrar vetores normais às superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a curva de intersecção é o conjunto de pontos que satisfazem ambas as equações das superfícies simultaneamente. Para encontrar a reta tangente a essa curva no ponto dado, precisamos determinar a direção dessa reta.

Passo 3

Para achar a direção da reta tangente, vamos encontrar os vetores normais a cada superfície no ponto (0, 2, 2). Esses vetores normais são obtidos pelas derivadas parciais das equações das superfícies.

Passo 4

Vamos começar com a esfera . As derivadas parciais são:
No ponto (0, 2, 2), o vetor normal à esfera é:

Passo 5

Agora, para a superfície , podemos reescrever como . As derivadas parciais são:
No ponto (0, 2, 2), o vetor normal é:

Passo 6

Agora temos dois vetores normais às superfícies no ponto de intersecção:
A direção da reta tangente à curva de intersecção é perpendicular a ambos os vetores normais. Para encontrar essa direção, vamos calcular o produto vetorial entre e .

Passo 7

Calculando o produto vetorial:
Oops! O produto vetorial deu zero, o que significa que os vetores são paralelos. Isso indica que as superfícies têm normais colineares no ponto, então precisamos encontrar outra maneira para determinar a direção da reta tangente.

Passo 8

Como direto o produto vetorial não ajudou, vamos parametrizar a curva de intersecção. Da equação , podemos expressar . Substituindo na esfera:
Simplificando:

Passo 9

Para encontrar a direção da reta tangente, derivamos em relação a um parâmetro, por exemplo, . Calculando a derivada de em relação a :
Isso resulta numa expressão complicada, então uma abordagem mais simples é observar que em , conforme o ponto dado.

Passo 10

No ponto (0, 2, 2), sabemos que . Então, a reta tangente será paralela ao eixo , já que as variações ocorrem apenas em . Portanto, a direção da reta tangente é na direção do eixo , ou seja, .

Resposta

A equação da reta tangente à curva de intersecção no ponto (0, 2, 2) é:
Ou de forma vetorial:

Exercícios relacionados

Ache uma equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície no ponto indicado.
f)
Considere a sequência . Verifique que a sequência é crescente e limitada superiormente por 2 e calcule seu limite.
Determine os extremos relativos de , se existirem.
c)