Se as duas superfícies dadas interceptam-se numa curva, ache as equações da reta tangente à curva de intersecção no ponto dado.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas superfícies que se cruzam numa curva, e precisamos achar a equação da reta tangente a essa curva no ponto específico (0, 2, 2). As superfícies são:
Esfera:
Superfície:
Vamos precisar de conceitos de geometria analítica no espaço e cálculo vetorial, principalmente usando derivadas parciais para encontrar vetores normais às superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a curva de intersecção é o conjunto de pontos que satisfazem ambas as equações das superfícies simultaneamente. Para encontrar a reta tangente a essa curva no ponto dado, precisamos determinar a direção dessa reta.
Passo 3
Para achar a direção da reta tangente, vamos encontrar os vetores normais a cada superfície no ponto (0, 2, 2). Esses vetores normais são obtidos pelas derivadas parciais das equações das superfícies.
Passo 4
Vamos começar com a esfera . As derivadas parciais são:
No ponto (0, 2, 2), o vetor normal à esfera é:
Passo 5
Agora, para a superfície , podemos reescrever como . As derivadas parciais são:
No ponto (0, 2, 2), o vetor normal é:
Passo 6
Agora temos dois vetores normais às superfícies no ponto de intersecção:
A direção da reta tangente à curva de intersecção é perpendicular a ambos os vetores normais. Para encontrar essa direção, vamos calcular o produto vetorial entre e .
Passo 7
Calculando o produto vetorial:
Oops! O produto vetorial deu zero, o que significa que os vetores são paralelos. Isso indica que as superfícies têm normais colineares no ponto, então precisamos encontrar outra maneira para determinar a direção da reta tangente.
Passo 8
Como direto o produto vetorial não ajudou, vamos parametrizar a curva de intersecção. Da equação , podemos expressar . Substituindo na esfera:
Simplificando:
Passo 9
Para encontrar a direção da reta tangente, derivamos em relação a um parâmetro, por exemplo, . Calculando a derivada de em relação a :
Isso resulta numa expressão complicada, então uma abordagem mais simples é observar que em , conforme o ponto dado.
Passo 10
No ponto (0, 2, 2), sabemos que . Então, a reta tangente será paralela ao eixo , já que as variações ocorrem apenas em . Portanto, a direção da reta tangente é na direção do eixo , ou seja, .
Resposta
A equação da reta tangente à curva de intersecção no ponto (0, 2, 2) é: