Ache o gradiente de em e a taxa de variação dos valores funcionais na direção de em .
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o gradiente da função no ponto e a taxa de variação dessa função na direção do vetor nesse ponto. Para isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e entender o que é o gradiente e a derivada direcional.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é formado pelas derivadas parciais de em relação a cada variável.
Então, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e :
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Passo 4
Então, o gradiente de no ponto é o vetor formado por essas derivadas avaliadas:
Passo 5
Agora, vamos calcular a taxa de variação da função na direção do vetor no ponto . A taxa de variação direcional é dada pelo produto escalar entre o gradiente de em e o vetor direção :
Substituindo os valores que já encontramos:
Passo 6
Vamos calcular esse produto escalar:
Resposta
O gradiente de no ponto é .
A taxa de variação dos valores funcionais na direção de em é .