Ache o gradiente de em e a taxa de variação dos valores funcionais na direção de em .
c)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o gradiente da função no ponto e a taxa de variação dessa função na direção do vetor nesse ponto. Para isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e entender o que é o gradiente e a derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é formado pelas derivadas parciais de em relação a cada variável.
Então, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e :

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :

Passo 4

Então, o gradiente de no ponto é o vetor formado por essas derivadas avaliadas:

Passo 5

Agora, vamos calcular a taxa de variação da função na direção do vetor no ponto . A taxa de variação direcional é dada pelo produto escalar entre o gradiente de em e o vetor direção :
Substituindo os valores que já encontramos:

Passo 6

Vamos calcular esse produto escalar:

Resposta

O gradiente de no ponto é .
A taxa de variação dos valores funcionais na direção de em é .

Exercícios relacionados

pts)
Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Ache uma equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície no ponto indicado.
e)
Se as duas superfícies dadas interceptam-se numa curva, ache as equações da reta tangente à curva de intersecção no ponto dado.
c)