Ache o gradiente de f em P e a taxa de variação dos valores funcionais na direção de U em P.
c) f(x, y, z) = y^2 + z^2 - 4 x z ; P = (-2, 1, 3) ; U = 2/7 i - 6/7 j + 3/7 k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o gradiente da função no ponto e a taxa de variação dessa função na direção do vetor nesse ponto. Para isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e entender o que é o gradiente e a derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é formado pelas derivadas parciais de em relação a cada variável.
Então, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e :

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :

Passo 4

Então, o gradiente de no ponto é o vetor formado por essas derivadas avaliadas:

Passo 5

Agora, vamos calcular a taxa de variação da função na direção do vetor no ponto . A taxa de variação direcional é dada pelo produto escalar entre o gradiente de em e o vetor direção :
Substituindo os valores que já encontramos:

Passo 6

Vamos calcular esse produto escalar:

Resposta

O gradiente de no ponto é .
A taxa de variação dos valores funcionais na direção de em é .

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