(1 0 pts) integral2^infty 1x raiz[3](ln x)^4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é de até o infinito de em relação a . O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais impróprias e substituição de variáveis. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão dentro da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Vamos deixar . Isso ajuda porque o logaritmo aparece no denominador. Agora, precisamos encontrar .

Passo 3

Calculando a derivada de du = 1x dx Rightarrow dx = x , du em relação a :
Mas como já temos um na integral original, isso vai simplificar bastante.

Passo 4

Substituindo na integral original:
integral2^infty 1x raiz[3](ln x)^4 dx = integralln 2^infty 1u^4/3 du
Aqui, mudamos os limites de integração: quando , , e quando vai para o infinito, também vai para o infinito.

Passo 5

Agora, vamos integrar integral 1u^4/3 du = integral u^-4/3 du = u^-1/3-1/3 + C = -3u^-1/3 + C :
[-3u^-1/3]ln 2^infty = [ -3 cdot 0 ] - [ -3 cdot (ln 2)^-1/3 ] = 0 + 3(ln 2)^1/3 = 3(ln 2)^1/3
Agora, aplicamos os limites de integração:

Resposta

A integral converge e seu valor é .

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