pts)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é de até o infinito de em relação a . O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais impróprias e substituição de variáveis. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão dentro da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Vamos deixar . Isso ajuda porque o logaritmo aparece no denominador. Agora, precisamos encontrar .

Passo 3

Calculando a derivada de em relação a :
Mas como já temos um na integral original, isso vai simplificar bastante.

Passo 4

Substituindo na integral original:
Aqui, mudamos os limites de integração: quando , , e quando vai para o infinito, também vai para o infinito.

Passo 5

Agora, vamos integrar :
Agora, aplicamos os limites de integração:

Resposta

A integral converge e seu valor é .

Exercícios relacionados

Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Dadas as equações e , determine a derivada indicada.
c)
Ache o gradiente de em e a taxa de variação dos valores funcionais na direção de em .
c)
Ache uma equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície no ponto indicado.
e)