Ache a equação do plano tangente e as equações simétricas da reta normal à superfície
no ponto
.
Passo 1
Beleza! Temos que encontrar a equação do plano tangente e as equações simétricas da reta normal à superfície definida por
no ponto
. Isso envolve usar cálculo de derivadas parciais para determinar como a superfície se comporta nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da superfície de uma forma que nos ajude a aplicar as derivadas. Podemos considerar a função:
O plano tangente em um ponto
na superfície pode ser encontrado usando as derivadas parciais de
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
:
Essas derivadas nos dão a inclinação da superfície em cada direção no ponto considerado.
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Esses valores vão nos ajudar a construir a equação do plano tangente.
Passo 5
A equação do plano tangente é dada por:
Substituindo os valores que encontramos:
Vamos simplificar:
Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar mais:
Passo 6
Agora, para encontrar as equações simétricas da reta normal, precisamos do vetor normal ao plano tangente. Esse vetor é dado pelos coeficientes de
,
e
na equação do plano tangente, ou seja,
.
As equações paramétricas da reta são:
Onde
são as componentes do vetor normal e
é o parâmetro.
Passo 7
Substituindo os valores:
Resposta
A equação do plano tangente é:
E as equações simétricas da reta normal são:
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