Ache a equação do plano tangente e as equações simétricas da reta normal à superfície no ponto .

Passo 1

Beleza! Temos que encontrar a equação do plano tangente e as equações simétricas da reta normal à superfície definida por no ponto . Isso envolve usar cálculo de derivadas parciais para determinar como a superfície se comporta nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da superfície de uma forma que nos ajude a aplicar as derivadas. Podemos considerar a função:
O plano tangente em um ponto na superfície pode ser encontrado usando as derivadas parciais de .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e :
Essas derivadas nos dão a inclinação da superfície em cada direção no ponto considerado.

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Esses valores vão nos ajudar a construir a equação do plano tangente.

Passo 5

A equação do plano tangente é dada por:
Substituindo os valores que encontramos:
Vamos simplificar:
Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar mais:

Passo 6

Agora, para encontrar as equações simétricas da reta normal, precisamos do vetor normal ao plano tangente. Esse vetor é dado pelos coeficientes de , e na equação do plano tangente, ou seja, .
As equações paramétricas da reta são:
Onde são as componentes do vetor normal e é o parâmetro.

Passo 7

Substituindo os valores:

Resposta

A equação do plano tangente é:
E as equações simétricas da reta normal são:

Exercícios relacionados

Obtenha a solução geral
Verifique se as equações são equações diferencias ordinárias e caso afirmativo, indique o grau e o tipo de equações.
Dar as expressões do divergente e do rotacional de se:
Determine se a série converge ou diverge.