Dar as expressões do divergente nabla . e do rotacional nabla x de V se:
V = (e^x + z cos y) i + (x z - e^y) j + (x y - z^2) k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o divergente e o rotacional do vetor . Isso faz parte do estudo de Cálculo Vetorial, especificamente das operações de divergente e rotacional que nos ajudam a entender o comportamento de campos vetoriais. Vamos precisar lembrar das definições de divergente e rotacional e aplicar essas fórmulas ao vetor .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o divergente de um vetor. O divergente de é dado por:
Então, vamos identificar as componentes de :

Passo 3

Agora, vamos calcular cada derivada parcial para o divergente:

Passo 4

Agora, somamos essas derivadas para encontrar o divergente:

Passo 5

Vamos agora para o rotacional. O rotacional de é dado por:

Passo 6

Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais:
Para a componente :
ã
Para a componente :
ã
Para a componente :
ã

Resposta

Portanto, as expressões solicitadas são:
Divergente:
Rotacional:

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