Obtenha a solução geral
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
. Aqui estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem, que relaciona a derivada de
em relação a
com
e
. Para resolver, vamos usar uma técnica chamada substituição homogênea, que é útil quando a equação é homogênea, ou seja, quando podemos expressar
como uma função de
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se a equação é homogênea. Uma equação é homogênea se podemos escrever
, onde
é uma função de
. Vamos fazer essa substituição:
Assim, a derivada de
em relação a
fica:
Passo 3
Agora, substituímos
e
na equação original:
Simplificando o denominador:
Então, a equação fica:
Passo 4
Vamos isolar
:
Colocando
em um denominador comum:
Podemos fatorar
:
Passo 5
Agora, separando as variáveis:
Vamos integrar os dois lados. Primeiro, vamos simplificar a fração do lado esquerdo usando frações parciais.
Passo 6
Decompondo a fração:
Multiplicando ambos os lados por
:
Igualando os coeficientes:
- Para
: - Para
:
Então,
e
.
Portanto:
Passo 7
Agora, substituímos de volta na integral:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Podemos combinar os logaritmos do lado esquerdo:
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde
é uma nova constante.
Passo 9
Lembrando que
, substituímos de volta:
Multiplicando tudo por
:
Passo 10
Finalmente, isolando
:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada, onde
é uma constante arbitrária.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Verifique se as equações são equações diferencias ordinárias e caso afirmativo, indique o grau e o tipo de equações.
Escreva o domínio máximo
das seguintes funções como união de intervalos:
a)
a)
Ache a equação do plano tangente e as equações simétricas da reta normal à superfície
no ponto
.
Dar as expressões do divergente
e do rotacional
de
se: