Obtenha a solução geral

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial . Aqui estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem, que relaciona a derivada de em relação a com e . Para resolver, vamos usar uma técnica chamada substituição homogênea, que é útil quando a equação é homogênea, ou seja, quando podemos expressar como uma função de .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a equação é homogênea. Uma equação é homogênea se podemos escrever , onde é uma função de . Vamos fazer essa substituição:
Assim, a derivada de em relação a fica:

Passo 3

Agora, substituímos e na equação original:
Simplificando o denominador:
Então, a equação fica:

Passo 4

Vamos isolar :
Colocando em um denominador comum:
Podemos fatorar :

Passo 5

Agora, separando as variáveis:
Vamos integrar os dois lados. Primeiro, vamos simplificar a fração do lado esquerdo usando frações parciais.

Passo 6

Decompondo a fração:
Multiplicando ambos os lados por :
Igualando os coeficientes:
  • Para :
  • Para :
Então, e .
Portanto:

Passo 7

Agora, substituímos de volta na integral:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Podemos combinar os logaritmos do lado esquerdo:
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde é uma nova constante.

Passo 9

Lembrando que , substituímos de volta:
Multiplicando tudo por :

Passo 10

Finalmente, isolando :
Essa é a solução geral da equação diferencial dada, onde é uma constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde é uma constante arbitrária.

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