Ache uma equação do plano que verifique as condições dadas:
(a) Passa pelo ponto e tem vetor normal .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação de um plano que atende a duas condições:
  1. Passa pelo ponto .
  2. Tem um vetor normal .
Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, mais especificamente com equações de planos no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar da fórmula geral da equação de um plano que utiliza um ponto e um vetor normal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para a equação de um plano quando temos um ponto conhecido e um vetor normal. A equação geral do plano é:
Onde:
  • são as coordenadas do ponto pelo qual o plano passa.
  • , , e são os componentes do vetor normal .
No nosso caso, o ponto tem coordenadas e o vetor normal tem componentes , , e .

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores que temos na fórmula do plano. Substituindo , , , , e , a equação fica:
Simplificando os sinais:

Passo 4

Vamos distribuir os valores e simplificar a equação:
Agora, combinamos os termos constantes:

Resposta

A equação do plano é:

Exercícios relacionados

Determine o volume do sólido:
a) sob o plano e acima da circunferência no plano .
Utilize coordenadas polares para determinar a área da região.
b) A região dentro da circunferência e fora da lemniscata .
Em cada um dos problemas de 1 a 8, determine a solução geral da equação diferencial dada.
Ache uma equação do plano que verifique as condições dadas:
(b) Passa pelo ponto e é paralelo ao plano .