Determine o volume do sólido:
a) sob o plano e acima da circunferência no plano .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar o volume de um sólido que está abaixo do plano e acima da circunferência no plano . Isso está ligado ao cálculo de volumes usando integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar uma integral dupla para calcular o volume desse sólido.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região sobre a qual vamos integrar. A circunferência tem raio 4, então estamos trabalhando com um círculo de raio 4 no plano . Para facilitar os cálculos, é legal usar coordenadas polares, já que estamos lidando com uma circunferência.

Passo 3

Em coordenadas polares, e . A equação do plano fica . O elemento de área em coordenadas polares é . Assim, o volume pode ser expresso como:

Passo 4

Vamos simplificar a integral:
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a :
Agora, substituímos de volta na integral:
Sabemos que , então:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Utilize coordenadas polares para determinar a área da região.
b) A região dentro da circunferência e fora da lemniscata .
Ache equações paramétricas da reta que passam pelo ponto e é paralela à reta que passa pelos pontos e .
Ache uma equação do plano que verifique as condições dadas:
(a) Passa pelo ponto e tem vetor normal .
Em cada um dos problemas de 1 a 8, determine a solução geral da equação diferencial dada.