Determine o volume do sólido:
a) sob o plano z = 4 x e acima da circunferência x^2 + y^2 = 16 no plano x y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar o volume de um sólido que está abaixo do plano e acima da circunferência no plano . Isso está ligado ao cálculo de volumes usando integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar uma integral dupla para calcular o volume desse sólido.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região sobre a qual vamos integrar. A circunferência tem raio 4, então estamos trabalhando com um círculo de raio 4 no plano . Para facilitar os cálculos, é legal usar coordenadas polares, já que estamos lidando com uma circunferência.

Passo 3

Em coordenadas polares, e . A equação do plano fica . O elemento de área em coordenadas polares é . Assim, o volume pode ser expresso como:

Passo 4

Vamos simplificar a integral:
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a :
Agora, substituímos de volta na integral:
Sabemos que , então:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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