Determine o volume do sólido:
a) sob o plano
e acima da circunferência
no plano
.
a) sob o plano
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que encontrar o volume de um sólido que está abaixo do plano
e acima da circunferência
no plano
. Isso está ligado ao cálculo de volumes usando integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar uma integral dupla para calcular o volume desse sólido.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região sobre a qual vamos integrar. A circunferência
tem raio 4, então estamos trabalhando com um círculo de raio 4 no plano
. Para facilitar os cálculos, é legal usar coordenadas polares, já que estamos lidando com uma circunferência.
Passo 3
Em coordenadas polares,
e
. A equação do plano
fica
. O elemento de área em coordenadas polares é
. Assim, o volume
pode ser expresso como:
Passo 4
Vamos simplificar a integral:
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a
:
Agora, substituímos de volta na integral:
Sabemos que
, então:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Utilize coordenadas polares para determinar a área da região.
b) A região dentro da circunferência e fora da lemniscata
.
b) A região dentro da circunferência
Ache equações paramétricas da reta que passam pelo ponto
e é paralela à reta que passa pelos pontos
e
.
Ache uma equação do plano que verifique as condições dadas:
(a) Passa pelo ponto e tem vetor normal
.
(a) Passa pelo ponto
Em cada um dos problemas de 1 a 8, determine a solução geral da equação diferencial dada.