Utilize coordenadas polares para determinar a área da região.
b) A região dentro da circunferência e fora da lemniscata .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente usar coordenadas polares para encontrar a área da região que está dentro da circunferência e fora da lemniscata . Para isso, vamos precisar entender como calcular áreas em coordenadas polares e identificar os limites das duas curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, a área de uma região definida por entre os ângulos e é dada pela fórmula:

Passo 3

Nossa tarefa é encontrar a área que está dentro do círculo e fora da lemniscata . Primeiro, vamos reescrever a equação da lemniscata para :
Isso nos mostra que a lemniscata está definida apenas onde , ou seja, quando está entre e , e entre e .

Passo 4

Vamos identificar os pontos de interseção entre o círculo e a lemniscata para determinar os limites de integração. Igualando à lemniscata:
Isso acontece quando , ou seja, . Portanto, os pontos de interseção são em e .

Passo 5

A área que queremos está entre e para cada ramo da lemniscata, já que a lemniscata completa um ciclo a cada radianos. Portanto, vamos calcular a área de um ramo e depois multiplicar por 2.

Passo 6

A área entre o círculo e a lemniscata para um ramo é dada por:
Aqui, é a área do círculo e é a área da lemniscata.

Passo 7

Vamos resolver a integral:
Calculando cada parte:

Passo 8

Substituindo de volta:
Como são dois ramos, a área total é:

Resposta

A área da região desejada é unidades quadradas.

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©
Determine o volume do sólido:
a) sob o plano e acima da circunferência no plano .
Ache uma equação do plano que verifique as condições dadas:
(a) Passa pelo ponto e tem vetor normal .