Utilize coordenadas polares para determinar a área da região.
b) A região dentro da circunferência
e fora da lemniscata
.
b) A região dentro da circunferência
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente usar coordenadas polares para encontrar a área da região que está dentro da circunferência
e fora da lemniscata
. Para isso, vamos precisar entender como calcular áreas em coordenadas polares e identificar os limites das duas curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, a área
de uma região definida por
entre os ângulos
e
é dada pela fórmula:
Passo 3
Nossa tarefa é encontrar a área que está dentro do círculo
e fora da lemniscata
. Primeiro, vamos reescrever a equação da lemniscata para
:
Isso nos mostra que a lemniscata está definida apenas onde
, ou seja, quando
está entre
e
, e entre
e
.
Passo 4
Vamos identificar os pontos de interseção entre o círculo e a lemniscata para determinar os limites de integração. Igualando
à lemniscata:
Isso acontece quando
, ou seja,
. Portanto, os pontos de interseção são em
e
.
Passo 5
A área que queremos está entre
e
para cada ramo da lemniscata, já que a lemniscata completa um ciclo a cada
radianos. Portanto, vamos calcular a área de um ramo e depois multiplicar por 2.
Passo 6
A área entre o círculo e a lemniscata para um ramo é dada por:
Aqui,
é a área do círculo e
é a área da lemniscata.
Passo 7
Vamos resolver a integral:
Calculando cada parte:
Passo 8
Substituindo de volta:
Como são dois ramos, a área total é:
Resposta
A área da região desejada é
unidades quadradas.
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Ache equações paramétricas da reta que passam pelo ponto
e é paralela à reta que passa pelos pontos
e
.
Considere os vetores
e
ache:
©
©
Determine o volume do sólido:
a) sob o plano e acima da circunferência
no plano
.
a) sob o plano
Ache uma equação do plano que verifique as condições dadas:
(a) Passa pelo ponto e tem vetor normal
.
(a) Passa pelo ponto