Em cada um dos problemas de 1 a 8, determine a solução geral da equação diferencial dada. y^(4) - 4 y'' = t^2 + e^t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos pede para encontrar a solução geral da equação . Isso envolve trabalhar com equações diferenciais de ordem quatro e combinar soluções homogêneas com soluções particulares. Vamos precisar usar conceitos de equações características e métodos para encontrar soluções particulares.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, . Para isso, usamos a equação característica associada:
Podemos fatorar essa equação:
Isso nos dá as raízes:

Passo 3

Com as raízes encontradas, a solução geral da parte homogênea é:
Aqui, são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Vamos dividir isso em duas partes:
  1. Para o termo :
    Assumimos uma solução da forma .
  2. Para o termo :
    Como não aparece na solução homogênea, podemos assumir .
Então, a solução particular completa é:

Passo 5

Vamos substituir na equação original e determinar os coeficientes .
Primeiro, calculamos as derivadas necessárias:
Substituindo na equação :
Agora, igualamos os coeficientes:
  • Para o termo :
  • Para o termo :
  • Para o termo constante:
    ãã
Portanto, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde são constantes arbitrárias.

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