Em cada um dos problemas de 1 a 8, determine a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos pede para encontrar a solução geral da equação
. Isso envolve trabalhar com equações diferenciais de ordem quatro e combinar soluções homogêneas com soluções particulares. Vamos precisar usar conceitos de equações características e métodos para encontrar soluções particulares.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja,
. Para isso, usamos a equação característica associada:
Podemos fatorar essa equação:
Isso nos dá as raízes:
Passo 3
Com as raízes encontradas, a solução geral da parte homogênea é:
Aqui,
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Vamos dividir isso em duas partes:
-
Para o termo
:
Assumimos uma solução da forma. -
Para o termo
:
Comonão aparece na solução homogênea, podemos assumir .
Então, a solução particular completa é:
Passo 5
Vamos substituir
na equação original e determinar os coeficientes
.
Primeiro, calculamos as derivadas necessárias:
Substituindo na equação
:
Agora, igualamos os coeficientes:
-
Para o termo
: -
Para o termo
: -
Para o termo constante:
Portanto, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Onde
são constantes arbitrárias.