Ache a equação polar do gráfico cuja equação cartesiana é y^2 - 20x + x^2 = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa transformar a equação cartesiana para uma equação em coordenadas polares. Pra isso, vamos usar os conceitos de conversão entre os sistemas cartesiano e polar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter coordenadas cartesianas (x, y) para polares (r, θ). As fórmulas que a gente usa são:
Isso significa que podemos substituir x e y na nossa equação original usando essas expressões.

Passo 3

Vamos substituir x por e y por na equação :

Passo 4

Agora, vamos expandir e simplificar essa expressão:
Perceba que pode ser simplificado usando a identidade trigonométrica . Então:

Passo 5

Vamos resolver a equação para r. Podemos fatorar r:
Isso nos dá duas soluções:
  1. , que representa o ponto de origem.
  2. , que é a equação polar principal do gráfico.

Resposta

A equação polar do gráfico é .

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