Ache a equação polar do gráfico cuja equação cartesiana é
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa transformar a equação cartesiana
para uma equação em coordenadas polares. Pra isso, vamos usar os conceitos de conversão entre os sistemas cartesiano e polar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter coordenadas cartesianas
para polares
. As fórmulas que a gente usa são:
Isso significa que podemos substituir
e
na nossa equação original usando essas expressões.
Passo 3
Vamos substituir
por
e
por
na equação
:
Passo 4
Agora, vamos expandir e simplificar essa expressão:
Perceba que
pode ser simplificado usando a identidade trigonométrica
. Então:
Passo 5
Vamos resolver a equação
para
. Podemos fatorar
:
Isso nos dá duas soluções:
-
, que representa o ponto de origem. -
, que é a equação polar principal do gráfico.
Resposta
A equação polar do gráfico é
.
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Ao meio-dia, um barco
está a 50 milhas ao norte de um barco
, dirigindo-se para o Sul a 16 nós. 0 barco
está indo para Oeste a 12 nós. Em que instante eles ficarão o mais próximo possível e qual é a distância mínima entre eles? ( 1 nó
, onde mn significa milha náutica)
Calcule
para as funções
abaixo:
13)
13)
Ache (r,
) se
e
para o ponto cuja representação cartesiana é
Uma janela tem a forma de um retângulo com um semicírculo no topo. Se o perímetro total é fixo, determine as proporções da janela (isto é, a razão entre a altura e a base) que permitirá máxima iluminação.