Ao meio-dia, um barco
está a 50 milhas ao norte de um barco
, dirigindo-se para o Sul a 16 nós. 0 barco
está indo para Oeste a 12 nós. Em que instante eles ficarão o mais próximo possível e qual é a distância mínima entre eles? ( 1 nó
, onde mn significa milha náutica)
Passo 1
Vamos entender a questão: Temos dois barcos, A e B, que começam em posições diferentes e estão se movendo em direções opostas. Queremos descobrir em que momento eles estarão mais próximos um do outro e qual será essa distância mínima. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento e cálculo de distância.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as posições iniciais e as velocidades de cada barco:
- Barco A: Está a 50 milhas ao norte do barco B e está se movendo para o sul a 16 nós.
- Barco B: Está se movendo para o oeste a 12 nós.
Passo 3
Vamos escolher um sistema de coordenadas para facilitar os cálculos. Vamos considerar o barco B como estando na origem (0,0). Assim:
- No meio-dia, a posição do barco A será (0, 50), já que está 50 milhas ao norte de B.
- A partir daí, vamos calcular as posições dos barcos em função do tempo
(em horas) após o meio-dia.
Passo 4
Vamos expressar as posições dos barcos em relação ao tempo
:
-
Barco A: Está se movendo para o sul a 16 nós, então sua posição na vertical (eixo y) será:A posição horizontal (eixo x) não muda, pois está se movendo apenas para o sul:
-
Barco B: Está se movendo para o oeste a 12 nós, então sua posição na horizontal (eixo x) será:A posição vertical (eixo y) não muda, pois está se movendo apenas para o oeste:
Passo 5
Agora, vamos calcular a distância entre os dois barcos em função do tempo
. Usamos a fórmula da distância entre dois pontos:
Substituindo as posições:
Passo 6
Para facilitar, vamos minimizar a distância ao quadrado:
Passo 7
Agora, temos uma função quadrática em
:
Para encontrar o mínimo dessa função, usamos a fórmula do vértice da parábola:
Passo 8
Com o tempo
horas, agora vamos calcular a distância mínima:
Resposta
Os barcos ficarão o mais próximo possível 2 horas após o meio-dia, ou seja, às 14:00, com uma distância mínima de 30 milhas náuticas entre eles.
Exercícios relacionados
Calcule
para as funções
abaixo:
13)
13)
Sejam
, com
. Determine
e
de modo que o produto
.
seja máximo.
Ache a equação polar do gráfico cuja equação cartesiana é
.
Ache (r,
) se
e
para o ponto cuja representação cartesiana é