Ao meio-dia, um barco está a 50 milhas ao norte de um barco , dirigindo-se para o Sul a 16 nós. 0 barco está indo para Oeste a 12 nós. Em que instante eles ficarão o mais próximo possível e qual é a distância mínima entre eles? ( 1 nó , onde mn significa milha náutica)

Passo 1

Vamos entender a questão: Temos dois barcos, A e B, que começam em posições diferentes e estão se movendo em direções opostas. Queremos descobrir em que momento eles estarão mais próximos um do outro e qual será essa distância mínima. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento e cálculo de distância.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as posições iniciais e as velocidades de cada barco:
  • Barco A: Está a 50 milhas ao norte do barco B e está se movendo para o sul a 16 nós.
  • Barco B: Está se movendo para o oeste a 12 nós.

Passo 3

Vamos escolher um sistema de coordenadas para facilitar os cálculos. Vamos considerar o barco B como estando na origem (0,0). Assim:
  • No meio-dia, a posição do barco A será (0, 50), já que está 50 milhas ao norte de B.
  • A partir daí, vamos calcular as posições dos barcos em função do tempo (em horas) após o meio-dia.

Passo 4

Vamos expressar as posições dos barcos em relação ao tempo :
  • Barco A: Está se movendo para o sul a 16 nós, então sua posição na vertical (eixo y) será:
    A posição horizontal (eixo x) não muda, pois está se movendo apenas para o sul:
  • Barco B: Está se movendo para o oeste a 12 nós, então sua posição na horizontal (eixo x) será:
    A posição vertical (eixo y) não muda, pois está se movendo apenas para o oeste:

Passo 5

Agora, vamos calcular a distância entre os dois barcos em função do tempo . Usamos a fórmula da distância entre dois pontos:
Substituindo as posições:

Passo 6

Para facilitar, vamos minimizar a distância ao quadrado:

Passo 7

Agora, temos uma função quadrática em :
Para encontrar o mínimo dessa função, usamos a fórmula do vértice da parábola:

Passo 8

Com o tempo horas, agora vamos calcular a distância mínima:
á

Resposta

Os barcos ficarão o mais próximo possível 2 horas após o meio-dia, ou seja, às 14:00, com uma distância mínima de 30 milhas náuticas entre eles.

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Calcule para as funções abaixo:
13)
Sejam , com . Determine e de modo que o produto . seja máximo.
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Ache (r, ) se e para o ponto cuja representação cartesiana é