Calcule f'(x) para as funções f abaixo:
13) f(x) = (2 x) / ((x + raiz(x))^(1/3))

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício onde precisamos achar a derivada da função . Aqui, vamos usar as regras de derivação, como a regra do produto, a regra do quociente e a regra da cadeia. Vamos precisar reescrever a função de um jeito que facilite a aplicação dessas regras.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. Podemos expressar a função como um produto:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra do produto para derivar . A regra do produto diz que se temos uma função , a derivada é . Aqui, e .

Passo 4

Vamos derivar cada parte:
  1. Derivada de :
  1. Derivada de :
    Para isso, usamos a regra da cadeia. Se , então .
Aqui, e .
Primeiro, derivamos :
Então, a derivada de é:

Passo 5

Agora, aplicamos a regra do produto:
Substituindo as derivadas que encontramos:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
  1. Simplificamos o segundo termo:
  1. Podemos fatorar e combinar os termos:

Resposta

A derivada da função é:

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