Uma janela tem a forma de um retângulo com um semicírculo no topo. Se o perímetro total é fixo, determine as proporções da janela (isto é, a razão entre a altura e a base) que permitirá máxima iluminação.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma janela que é formada por um retângulo com um semicírculo no topo. O perímetro total dessa janela é fixo. Nosso objetivo é encontrar a proporção entre a altura do retângulo e a base da janela que maximiza a iluminação, ou seja, maximiza a área da janela. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria, como cálculo de perímetro e área, além de derivadas para otimizar a função da área.

Passo 2

Vamos começar definindo as variáveis que vamos usar. Seja a base do retângulo (e da janela), e a altura do retângulo. O semicírculo no topo tem diâmetro igual à base , então o raio do semicírculo é .

Passo 3

Agora, vamos calcular o perímetro total da janela. O perímetro consiste no perímetro do retângulo mais o perímetro do semicírculo, mas precisamos lembrar que a base do retângulo está compartilhada com o diâmetro do semicírculo, então não contamos esse segmento duas vezes. O perímetro do retângulo é e o perímetro do semicírculo é metade do perímetro do círculo completo, que é . Portanto, o perímetro total é:
Substituindo :

Passo 4

Como o perímetro é fixo, podemos expressar uma das variáveis em termos da outra. Vamos isolar :

Passo 5

Agora, vamos expressar a área da janela, que é a soma da área do retângulo e da área do semicírculo.
Área do retângulo:
Área do semicírculo:
Portanto, a área total é:

Passo 6

Substituímos a expressão de que encontramos no Passo 4 na fórmula da área:
Expandindo:
Combinando termos semelhantes:

Passo 7

Agora, para encontrar a base que maximiza a área , vamos derivar a função em relação a e igualar a derivada a zero.
Derivada de em relação a :

Passo 8

Igualamos a derivada a zero para encontrar o valor crítico:
Fatorando :

Passo 9

Agora, lembrando que nosso objetivo é encontrar a proporção entre a altura e a base . Usando a expressão de do Passo 4:
Substituindo :
Simplificando:

Passo 10

Portanto, a proporção é:
Simplificando:

Resposta

A proporção entre a altura e a base que maximiza a iluminação da janela é ou aproximadamente 2,07.

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