Uma janela tem a forma de um retângulo com um semicírculo no topo. Se o perímetro total é fixo, determine as proporções da janela (isto é, a razão entre a altura e a base) que permitirá máxima iluminação.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma janela que é formada por um retângulo com um semicírculo no topo. O perímetro total dessa janela é fixo. Nosso objetivo é encontrar a proporção entre a altura do retângulo e a base da janela que maximiza a iluminação, ou seja, maximiza a área da janela. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria, como cálculo de perímetro e área, além de derivadas para otimizar a função da área.
Passo 2
Vamos começar definindo as variáveis que vamos usar. Seja
a base do retângulo (e da janela), e
a altura do retângulo. O semicírculo no topo tem diâmetro igual à base
, então o raio
do semicírculo é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o perímetro total da janela. O perímetro consiste no perímetro do retângulo mais o perímetro do semicírculo, mas precisamos lembrar que a base do retângulo está compartilhada com o diâmetro do semicírculo, então não contamos esse segmento duas vezes. O perímetro do retângulo é
e o perímetro do semicírculo é metade do perímetro do círculo completo, que é
. Portanto, o perímetro total
é:
Substituindo
:
Passo 4
Como o perímetro
é fixo, podemos expressar uma das variáveis em termos da outra. Vamos isolar
:
Passo 5
Agora, vamos expressar a área
da janela, que é a soma da área do retângulo e da área do semicírculo.
Área do retângulo:
Área do semicírculo:
Portanto, a área total
é:
Passo 6
Substituímos a expressão de
que encontramos no Passo 4 na fórmula da área:
Expandindo:
Combinando termos semelhantes:
Passo 7
Agora, para encontrar a base
que maximiza a área
, vamos derivar a função
em relação a
e igualar a derivada a zero.
Derivada de
em relação a
:
Passo 8
Igualamos a derivada a zero para encontrar o valor crítico:
Fatorando
:
Passo 9
Agora, lembrando que nosso objetivo é encontrar a proporção entre a altura
e a base
. Usando a expressão de
do Passo 4:
Substituindo
:
Simplificando:
Passo 10
Portanto, a proporção
é:
Simplificando:
Resposta
A proporção entre a altura e a base que maximiza a iluminação da janela é
ou aproximadamente 2,07.
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Ache (r,
) se
e
para o ponto cuja representação cartesiana é
Ache a equação polar do gráfico cuja equação cartesiana é
.
Sabe-se que
é uma função derivável em
e que a reta tangente ao gráfico de
no ponto de abscissa 3 é
. Seja
dada por
. Determine
. Resp.: -1.
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