Ache a equação da reta (forma paramétrica ou simétrica) da intersecção dos planos x+ 2 y-9 z=7 e 2 x-3 y+17 z=0.

Passo 1

Beleza, então temos que achar a equação da reta que é a interseção dos planos dados por x + 2y - 9z = 7 e 2x - 3y + 17z = 0. Isso é um problema de geometria analítica, onde a interseção de dois planos é sempre uma reta, a menos que sejam paralelos ou coincidentes. Para resolver isso, vamos precisar resolver o sistema de equações formado pelos dois planos para encontrar as equações paramétricas da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma variável para ser o parâmetro. Normalmente, escolhemos a variável que facilita os cálculos. Aqui, vou escolher z = t, onde t é o parâmetro.

Passo 3

Agora, com z = t, substituímos esse valor nas duas equações dos planos para encontrar x e y em termos de t.
A primeira equação é:
x + 2y - 9z = 7
Substituindo z = t:
x + 2y - 9t = 7 Rightarrow x = 7 - 2y + 9t

Passo 4

A segunda equação é:
2x - 3y + 17z = 0
Substituindo z = t e x = 7 - 2y + 9t:
2(7 - 2y + 9t) - 3y + 17t = 0
14 - 4y + 18t - 3y + 17t = 0
14 - 7y + 35t = 0

Passo 5

Vamos resolver para y:
-7y = -14 - 35t Rightarrow y = 2 + 5t

Passo 6

Agora, substituímos y = 2 + 5t na expressão que encontramos para x:
x = 7 - 2(2 + 5t) + 9t
x = 7 - 4 - 10t + 9t
x = 3 - t

Resposta

A equação paramétrica da reta de interseção dos planos é:
x = 3 - t y = 2 + 5t z = t
onde t é o parâmetro.

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