Para cada número real t seja Rt a matriz dada por
(ll cos t & -sen t sen t & cos t )
(b) Calcule R-t

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos apresenta uma matriz que depende de um número real . A nossa tarefa é calcular , ou seja, a matriz quando o valor de é . Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções trigonométricas se comportam quando o ângulo é negativo e como isso afeta os elementos da matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a matriz Rt = cos t & -sen t sen t & cos t :
Queremos encontrar R-t = cos (-t) & -sen (-t) sen (-t) & cos (-t) , então vamos substituir por na matriz:

Passo 3

Agora, precisamos usar as propriedades das funções trigonométricas para simplificar os termos com argumentos negativos.
Sabemos que:
  • cos (-t) = cos t (coseno é uma função par)
  • (seno é uma função ímpar)
Aplicando essas propriedades:
sen (-t) = -sen t
Substituindo na matriz:

Passo 4

Simplificando os sinais na matriz:

Resposta

Portanto, a matriz R-t = cos t & sen t - sen t & cos t é:

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