Nos ítens seguintes determine quais as matrizes que são inversíveis. Em caso afirmativo determine a inversa.
(i)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente descobrir se a matriz dada é inversível, ou seja, se existe uma matriz que quando multiplicada por ela dá a matriz identidade. Se for inversível, também vamos encontrar essa inversa. Para isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz e, se for diferente de zero, seguir para encontrar a inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz A = 1 & 3 & -5 0 & 2 & -3 -1 & 5 & 8 . O determinante nos ajuda a saber se a matriz é inversível: se o determinante for diferente de zero, a matriz tem inversa. A matriz dada é:
Passo 3
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui. A fórmula para o determinante de det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) é:
A = a & b & c d & e & f g & h & i
Onde os elementos são:
a = 1, b = 3, c = -5, d = 0, e = 2, f = -3, g = -1, h = 5, i = 8
Substituindo os valores da nossa matriz:
Passo 4
Agora, vamos calcular cada parte do determinante:
ei - fh = (2)(8) - (-3)(5) = 16 + 15 = 31
di - fg = (0)(8) - (-3)(-1) = 0 - 3 = -3
dh - eg = (0)(5) - (2)(-1) = 0 + 2 = 2
Passo 5
Substituindo esses valores na fórmula do determinante:
det(A) = 1 times 31 - 3 times (-3) + (-5) times 2 = 31 + 9 - 10 = 30
Passo 6
Como o determinante de é 30, que é diferente de zero, a matriz é inversível.
Passo 7
Agora, vamos encontrar a inversa da matriz A^-1 = 1det(A) times adj(A) . Uma maneira de fazer isso é usando a fórmula da matriz inversa baseada nos cofatores:
Onde é a adjunta de , que é a transposta da matriz de cofatores de .
Passo 8
Primeiro, vamos encontrar a matriz de cofatores de Cij = (-1)^i+j times Mij . Cada elemento da matriz de cofatores é calculado como:
Onde é o menor complementar, ou seja, o determinante da matriz que sobra retirando a linha e a coluna .
Passo 9
Vamos calcular cada cofator:
2 & -3 5 & 8
0 & -3 -1 & 8
0 & 2 -1 & 5
3 & -5 5 & 8
1 & -5 -1 & 8
1 & 3 -1 & 5
3 & -5 2 & -3
1 & -5 0 & -3
1 & 3 0 & 2
Passo 10
Assim, a matriz de cofatores C = 31 & 3 & 2 -49 & 3 & -8 1 & 3 & 2 é:
Passo 11
Agora, vamos encontrar a adjunta de adj(A) = C^T = 31 & -49 & 1 3 & 3 & 3 2 & -8 & 2 , que é a transposta da matriz de cofatores :