Ache a equação da reta tangente à curva dada no ponto indicado. ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação da reta tangente à curva em um ponto específico. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas, já que a reta tangente tem a mesma inclinação da curva naquele ponto.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber em qual ponto vamos encontrar a reta tangente. Como a questão menciona “no ponto indicado”, vamos supor que o ponto dado é, por exemplo, . Se tiver outro ponto, é só substituir aqui.

Passo 3

Vamos calcular o valor de quando para encontrar as coordenadas do ponto. Substituindo na equação da curva:
Então, o ponto é .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto, ou seja, a derivada de em relação a avaliada em .
Vamos calcular utilizando a regra do produto e a regra da cadeia, já que é o produto de duas funções:
A derivada fica:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos avaliar em :
Primeiro, calculemos cada parte:
Substituindo:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 6

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da reta:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é .

Exercícios relacionados

Mostre que .
Calcule a derivada de cada função:
Para cada item, represente no plano complexo o conjunto dos números tais que: .
Ache usando diferenciação implícita: