Ache a equação da reta tangente à curva dada no ponto indicado.
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação da reta tangente à curva
em um ponto específico. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas, já que a reta tangente tem a mesma inclinação da curva naquele ponto.
Passo 2
Primeiro, precisamos saber em qual ponto vamos encontrar a reta tangente. Como a questão menciona “no ponto indicado”, vamos supor que o ponto dado é, por exemplo,
. Se tiver outro ponto, é só substituir aqui.
Passo 3
Vamos calcular o valor de
quando
para encontrar as coordenadas do ponto. Substituindo na equação da curva:
Então, o ponto é
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto, ou seja, a derivada de
em relação a
avaliada em
.
Vamos calcular
utilizando a regra do produto e a regra da cadeia, já que
é o produto de duas funções:
A derivada fica:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos avaliar
em
:
Primeiro, calculemos cada parte:
Substituindo:
Então, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 6
Com a inclinação
e o ponto
, podemos usar a fórmula da reta:
Substituindo os valores:
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Mostre que
.
Calcule a derivada de cada função:
Para cada item, represente no plano complexo o conjunto dos números
tais que:
.
Ache
usando diferenciação implícita: