Para cada item, represente no plano complexo o conjunto dos números tais que: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para representar no plano complexo todos os números que satisfazem e . Isso está ligado ao estudo dos **números complexos** e como eles são representados geométricamente no plano. Vamos precisar entender o que é o argumento de um número complexo e como isso define uma região no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o **plano complexo**. Ele é parecido com um plano cartesiano, mas ao invés de ter eixos x e y, temos o eixo real (horizontal) e o eixo imaginário (vertical). Qualquer número complexo pode ser representado como um ponto nesse plano, onde a parte real é a coordenada no eixo real e a parte imaginária é a coordenada no eixo imaginário.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o **argumento de um número complexo**, representado por . O argumento é o ângulo que o número complexo faz com o eixo real positivo. Por exemplo, se , o argumento é porque o ponto está a 45 graus do eixo real.
Passo 4
A condição significa que estamos interessados nos números complexos cujo argumento está entre 0 e radianos (ou seja, entre 0 e 60 graus). Além disso, indica que estamos excluindo a origem do plano complexo.
Passo 5
Para representar isso no plano complexo, imagine desenhar dois raios a partir da origem. Um raio está no próprio eixo real (ângulo 0) e o outro está a radianos, que é 60 graus acima do eixo real. Todos os números complexos que atendem à condição estarão entre esses dois raios, formando um **setor** no plano. Como , esse setor não inclui o ponto na origem.
Resposta
No plano complexo, o conjunto dos números que satisfazem e é representado por um setor aberto entre os raios que formam um ângulo de 60 graus com o eixo real positivo, excluindo o ponto na origem.
Exercícios relacionados
Ache a equação da reta tangente à curva dada no ponto indicado. ;
Mostre que .
Ache usando diferenciação implícita:
Mostre que o conjunto dos números tais que representa uma reta no plano complexo. Esboce esta reta.