Ache uma equação da reta tangente à curva:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a equação da reta tangente a duas curvas parametrizadas em pontos específicos. A matéria aqui envolve cálculo de derivadas e geometria analítica para encontrar a inclinação da reta tangente. Vamos precisar calcular as derivadas das funções que definem as curvas e depois usar essas derivadas para achar a inclinação da reta no ponto dado.

Passo 2

Vamos começar com a parte a) do exercício: e para .
Primeiro, precisamos achar o ponto na curva correspondente a . Substituindo esse valor nas equações paramétricas:
Então, o ponto é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada , que nos dará a inclinação da reta tangente. Para isso, usamos a regra da derivada para funções paramétricas:
Calculando as derivadas:
Então,
Substituindo :

Passo 4

Com a inclinação da reta e conhecendo o ponto , podemos usar a fórmula ponto-inclinação para achar a equação da reta tangente:
Substituindo:
Simplificando:
Juntando os termos:
Calculando os termos constantes:
Então, a equação final da reta tangente é:

Passo 5

Agora, vamos para a parte b): e para .
Primeiro, encontramos o ponto na curva:
Então, o ponto é .

Passo 6

Vamos calcular a derivada :
Então,
Substituindo :

Passo 7

Com a inclinação e o ponto , usamos novamente a fórmula ponto-inclinação:
Simplificando:
Calculando:

Resposta

a) A equação da reta tangente é
b) A equação da reta tangente é

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Ache e .
Ache e
Se for a medida em radianos do ângulo entre e , ache .
Ache e