Ache uma equação da reta tangente à curva:
& a) x=1+3 sen t, y=2-5 cos t, t=pi6 & b) x=2 sen t, y=5 cos t, t=pi3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a equação da reta tangente a duas curvas parametrizadas em pontos específicos. A matéria aqui envolve cálculo de derivadas e geometria analítica para encontrar a inclinação da reta tangente. Vamos precisar calcular as derivadas das funções que definem as curvas e depois usar essas derivadas para achar a inclinação da reta no ponto dado.

Passo 2

Vamos começar com a parte a) do exercício: e x = 1 + 3 sen(pi6) = 1 + 3 (12) = 1 + 32 = 52 para y = 2 - 5 cos(pi6) = 2 - 5 (raiz32) = 2 - 5raiz32 .
Primeiro, precisamos achar o ponto na curva correspondente a . Substituindo esse valor nas equações paramétricas:
Então, o ponto é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada dydx = dydtdxdt , que nos dará a inclinação da reta tangente. Para isso, usamos a regra da derivada para funções paramétricas:
dxdt = 3 cos t
Calculando as derivadas:
dydt = 5 sen t
Então,
Substituindo dydx = 5 sen t3 cos t = 53 tan t :
dydx = 53 tan(pi6) = 53 (1raiz3) = 53raiz3 = 5raiz39

Passo 4

Com a inclinação da reta y - y1 = m(x - x1) e conhecendo o ponto y - (2 - 5raiz32) = 5raiz39 (x - 52) , podemos usar a fórmula ponto-inclinação para achar a equação da reta tangente:
y = 5raiz39x - 25raiz318 + 2 - 5raiz32
Substituindo:
y = 5raiz39x + (2 - 25raiz318 - 5raiz32)
Simplificando:
2 - 25raiz318 - 45raiz318 = 2 - 70raiz318 = 2 - 35raiz39
Juntando os termos:
y = 5raiz39x + 2 - 35raiz39
Calculando os termos constantes:
Então, a equação final da reta tangente é:

Passo 5

Agora, vamos para a parte b): e x = 2 sen(pi3) = 2 (raiz32) = raiz3 para y = 5 cos(pi3) = 5 (12) = 52 .
Primeiro, encontramos o ponto na curva:
Então, o ponto é .

Passo 6

Vamos calcular a derivada dxdt = 2 cos t :
dydt = -5 sen t
Então,
Substituindo dydx = -5 sen t2 cos t = -52 tan t :
dydx = -52 tan(pi3) = -52 cdot raiz3 = -5raiz32

Passo 7

Com a inclinação y - 52 = -5raiz32 (x - raiz3) e o ponto y = -5raiz32x + 5raiz32 cdot raiz3 + 52 , usamos novamente a fórmula ponto-inclinação:
y = -5raiz32x + 152 + 52 = -5raiz32x + 10
Simplificando:
Calculando:

Resposta

a) A equação da reta tangente é
b) A equação da reta tangente é

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