Ache uma equação da reta tangente à curva:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a equação da reta tangente a duas curvas parametrizadas em pontos específicos. A matéria aqui envolve cálculo de derivadas e geometria analítica para encontrar a inclinação da reta tangente. Vamos precisar calcular as derivadas das funções que definem as curvas e depois usar essas derivadas para achar a inclinação da reta no ponto dado.
Passo 2
Vamos começar com a parte a) do exercício: e
para
.
Primeiro, precisamos achar o ponto na curva correspondente a
. Substituindo esse valor nas equações paramétricas:
Então, o ponto é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada
, que nos dará a inclinação da reta tangente. Para isso, usamos a regra da derivada para funções paramétricas:
Calculando as derivadas:
Então,
Substituindo
:
Passo 4
Com a inclinação da reta
e conhecendo o ponto
, podemos usar a fórmula ponto-inclinação para achar a equação da reta tangente:
Substituindo:
Simplificando:
Juntando os termos:
Calculando os termos constantes:
Então, a equação final da reta tangente é:
Passo 5
Agora, vamos para a parte b): e
para
.
Primeiro, encontramos o ponto na curva:
Então, o ponto é
.
Passo 6
Vamos calcular a derivada
:
Então,
Substituindo
:
Passo 7
Com a inclinação
e o ponto
, usamos novamente a fórmula ponto-inclinação:
Simplificando:
Calculando:
Resposta
a) A equação da reta tangente é
b) A equação da reta tangente é
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.
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for a medida em radianos do ângulo entre
e
, ache
.
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