Ache
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! No exercício, a gente precisa encontrar dois vetores importantes para uma curva: o vetor tangente unitário,
, e o vetor normal unitário,
. A curva é dada pela função vetorial
. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções vetoriais e normalizar vetores, ou seja, transformá-los em vetores de comprimento 1.
Passo 2
Primeiro passo: vamos encontrar a derivada de
, que é o vetor velocidade da curva, denotado por
. Isso significa que vamos derivar cada componente de
em relação a
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a magnitude de
, que é basicamente o comprimento desse vetor. A fórmula para a magnitude de um vetor
é
.
Aplicando isso ao nosso
:
Passo 4
Com a magnitude em mãos, podemos encontrar o vetor tangente unitário
. Ele é obtido dividindo o vetor velocidade
pela sua própria magnitude.
Passo 5
Agora, vamos encontrar o vetor normal unitário
. Para isso, precisamos derivar
em relação a
e, depois, normalizar esse vetor resultante.
Primeiro, vamos derivar
:
Esse cálculo envolve a regra do quociente e exige um pouco de trabalho com derivadas, mas é essencial para encontrar
.
Passo 6
Depois de calcular
, encontramos a sua magnitude
. Então, o vetor normal unitário
é simplesmente
dividido pela sua magnitude.
Resposta
Então, resumindo, os vetores unitários tangente e normal para a curva dada são:
e
Exercícios relacionados
Se
for a medida em radianos do ângulo entre
e
, ache
.
Ache uma equação da reta tangente à curva:
Ache o vetor tangente unitário para a curva tendo a equação vetorial dada.
Ache o vetor mais geral cuja derivada é a função dada.