Ache T(t) e N(t)
R(t) = t^2 i + e^t j

Passo 1

Beleza, vamos lá! No exercício, a gente precisa encontrar dois vetores importantes para uma curva: o vetor tangente unitário, , e o vetor normal unitário, . A curva é dada pela função vetorial . Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções vetoriais e normalizar vetores, ou seja, transformá-los em vetores de comprimento 1.

Passo 2

Primeiro passo: vamos encontrar a derivada de , que é o vetor velocidade da curva, denotado por . Isso significa que vamos derivar cada componente de em relação a .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a magnitude de , que é basicamente o comprimento desse vetor. A fórmula para a magnitude de um vetor é .
Aplicando isso ao nosso :

Passo 4

Com a magnitude em mãos, podemos encontrar o vetor tangente unitário . Ele é obtido dividindo o vetor velocidade pela sua própria magnitude.

Passo 5

Agora, vamos encontrar o vetor normal unitário . Para isso, precisamos derivar em relação a e, depois, normalizar esse vetor resultante.
Primeiro, vamos derivar :
Esse cálculo envolve a regra do quociente e exige um pouco de trabalho com derivadas, mas é essencial para encontrar .

Passo 6

Depois de calcular , encontramos a sua magnitude . Então, o vetor normal unitário é simplesmente dividido pela sua magnitude.

Resposta

Então, resumindo, os vetores unitários tangente e normal para a curva dada são:
e

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