Se for a medida em radianos do ângulo entre e , ache .

Passo 1

Vamos lá! A gente tem duas partes nesse exercício onde precisamos encontrar a derivada do ângulo entre dois vetores, . A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, especialmente o estudo de vetores no espaço e como calcular o ângulo entre eles. Vamos precisar conhecer o produto interno (ou produto escalar) e como derivar funções que envolvem vetores.

Parte a)

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os vetores dados na parte a):
Esses são vetores que dependem do tempo e estão nas direções dos eixos e , respectivamente.

Passo 3

Para encontrar o ângulo entre e , usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
Onde:
  • é o produto interno dos vetores.
  • e são os módulos dos vetores.

Passo 4

Vamos calcular o produto interno :
Já que está na direção e na direção , eles são perpendiculares, e o produto interno é zero.

Passo 5

Agora, calculamos os módulos dos vetores:

Passo 6

Substituindo na fórmula do cosseno:
Isso significa que:
O ângulo entre os vetores é sempre constante e igual a .

Passo 7

Como o ângulo é constante, a sua derivada em relação ao tempo é:

Passo 8

Agora vamos para a parte b) do exercício. Aqui estão os vetores:
Dessa vez, ambos os vetores têm componentes na direção , mas também tem uma componente na direção .

Passo 9

Novamente, usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:

Passo 10

Calculamos o produto interno :

Passo 11

Agora, calculamos os módulos dos vetores:

Passo 12

Substituindo na fórmula do cosseno:
Então:

Passo 13

Para encontrar , usamos a regra da cadeia. A derivada de é:
Onde .

Passo 14

Primeiro, vamos encontrar :

Passo 15

Substituindo na derivada de :

Passo 16

Simplificando o denominador da raiz:
Portanto:
á

Passo 17

Substituindo de volta na expressão de :

Resposta

  • Parte a):
  • Parte b):

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Ache uma equação da reta tangente à curva:
Ache e .
Ache e
Ache o vetor tangente unitário para a curva tendo a equação vetorial dada.