Se
for a medida em radianos do ângulo entre
e
, ache
.
Passo 1
Vamos lá! A gente tem duas partes nesse exercício onde precisamos encontrar a derivada do ângulo entre dois vetores,
. A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, especialmente o estudo de vetores no espaço e como calcular o ângulo entre eles. Vamos precisar conhecer o produto interno (ou produto escalar) e como derivar funções que envolvem vetores.
Parte a)
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para os vetores dados na parte a):
Esses são vetores que dependem do tempo
e estão nas direções dos eixos
e
, respectivamente.
Passo 3
Para encontrar o ângulo
entre
e
, usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
Onde:
-
é o produto interno dos vetores. -
e são os módulos dos vetores.
Passo 4
Vamos calcular o produto interno
:
Já que
está na direção
e
na direção
, eles são perpendiculares, e o produto interno é zero.
Passo 5
Agora, calculamos os módulos dos vetores:
Passo 6
Substituindo na fórmula do cosseno:
Isso significa que:
O ângulo entre os vetores é sempre constante e igual a
.
Passo 7
Como o ângulo
é constante, a sua derivada em relação ao tempo é:
Passo 8
Agora vamos para a parte b) do exercício. Aqui estão os vetores:
Dessa vez, ambos os vetores têm componentes na direção
, mas
também tem uma componente na direção
.
Passo 9
Novamente, usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
Passo 10
Calculamos o produto interno
:
Passo 11
Agora, calculamos os módulos dos vetores:
Passo 12
Substituindo na fórmula do cosseno:
Então:
Passo 13
Para encontrar
, usamos a regra da cadeia. A derivada de
é:
Onde
.
Passo 14
Primeiro, vamos encontrar
:
Passo 15
Substituindo na derivada de
:
Passo 16
Simplificando o denominador da raiz:
Portanto:
Passo 17
Substituindo de volta na expressão de
:
Resposta
- Parte a):
- Parte b):
Exercícios relacionados
Ache uma equação da reta tangente à curva:
Ache
e
.
Ache
e
Ache o vetor tangente unitário para a curva tendo a equação vetorial dada.