Se alpha(t) for a medida em radianos do ângulo entre R(t) e Q(t), ache alpha^prime(t).
& a) R(t)=3 e^2 t i e Q(t)=6 e^3 t j & b) R(t)=2 t i+(t^2-1) j e Q(t)=3 t i

Passo 1

Vamos lá! A gente tem duas partes nesse exercício onde precisamos encontrar a derivada do ângulo entre dois vetores, . A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, especialmente o estudo de vetores no espaço e como calcular o ângulo entre eles. Vamos precisar conhecer o produto interno (ou produto escalar) e como derivar funções que envolvem vetores.

Parte a)

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os vetores dados na parte a):
R(t) &= 3 e^2 t i Q(t) &= 6 e^3 t j
Esses são vetores que dependem do tempo e estão nas direções dos eixos e , respectivamente.

Passo 3

Para encontrar o ângulo cos(alpha(t)) = R(t) cdot Q(t)||R(t)|| , ||Q(t)|| entre e , usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
Onde:
  • é o produto interno dos vetores.
  • e são os módulos dos vetores.

Passo 4

Vamos calcular o produto interno R(t) cdot Q(t) = (3 e^2 t)(0) + (0)(6 e^3 t) = 0 :
Já que está na direção e na direção , eles são perpendiculares, e o produto interno é zero.

Passo 5

Agora, calculamos os módulos dos vetores:
||R(t)|| = raiz(3 e^2 t)^2 + 0^2 = 3 e^2 t
||Q(t)|| = raiz0^2 + (6 e^3 t)^2 = 6 e^3 t

Passo 6

Substituindo na fórmula do cosseno:
cos(alpha(t)) = 03 e^2 t times 6 e^3 t = 0
Isso significa que:
alpha(t) = arccos(0) = pi2 radianos
O ângulo entre os vetores é sempre constante e igual a .

Passo 7

Como o ângulo alpha'(t) = 0 é constante, a sua derivada em relação ao tempo é:

Passo 8

Agora vamos para a parte b) do exercício. Aqui estão os vetores:
R(t) &= 2 t i + (t^2 - 1) j Q(t) &= 3 t i
Dessa vez, ambos os vetores têm componentes na direção , mas também tem uma componente na direção .

Passo 9

Novamente, usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
cos(alpha(t)) = R(t) cdot Q(t)||R(t)|| , ||Q(t)||

Passo 10

Calculamos o produto interno R(t) cdot Q(t) = (2 t)(3 t) + (t^2 - 1)(0) = 6 t^2 :

Passo 11

Agora, calculamos os módulos dos vetores:
||R(t)|| = raiz(2 t)^2 + (t^2 - 1)^2 = raiz4 t^2 + t^4 - 2 t^2 + 1 = raizt^4 + 2 t^2 + 1 = raiz(t^2 + 1)^2 = t^2 + 1
||Q(t)|| = raiz(3 t)^2 = 3 t

Passo 12

Substituindo na fórmula do cosseno:
cos(alpha(t)) = 6 t^2(t^2 + 1)(3 t) = 6 t^23 t (t^2 + 1) = 2 tt^2 + 1
Então:
alpha(t) = arccos(2 tt^2 + 1)

Passo 13

Para encontrar ddt arccos(u) = -u'raiz1 - u^2 , usamos a regra da cadeia. A derivada de é:
Onde .

Passo 14

Primeiro, vamos encontrar u = 2 tt^2 + 1 u' = (2)(t^2 + 1) - 2 t (2 t)(t^2 + 1)^2 = 2 t^2 + 2 - 4 t^2(t^2 + 1)^2 = -2 t^2 + 2(t^2 + 1)^2 = 2(1 - t^2)(t^2 + 1)^2 :

Passo 15

Substituindo na derivada de alpha'(t) = -u'raiz1 - u^2 = -2(1 - t^2)(t^2 + 1)^2raiz1 - (2 tt^2 + 1)^2 = -2(1 - t^2)(t^2 + 1)^2 raiz1 - 4 t^2(t^2 + 1)^2 :

Passo 16

Simplificando o denominador da raiz:
1 - 4 t^2(t^2 + 1)^2 = (t^2 + 1)^2 - 4 t^2(t^2 + 1)^2 = t^4 + 2 t^2 + 1 - 4 t^2(t^2 + 1)^2 = t^4 - 2 t^2 + 1(t^2 + 1)^2 = (t^2 - 1)^2(t^2 + 1)^2
Portanto:
raiz1 - 4 t^2(t^2 + 1)^2 = |t^2 - 1|t^2 + 1 = 1 - t^2t^2 + 1 (já que (t^2 + 1 > 0)) á

Passo 17

Substituindo de volta na expressão de alpha'(t) = -2(1 - t^2)(t^2 + 1)^2 times 1 - t^2t^2 + 1 = -2(1 - t^2)(t^2 + 1)^2 times t^2 + 11 - t^2 = -2t^2 + 1 :

Resposta

  • Parte a):
  • Parte b):

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