Ache uma equação da reta tangente à curva x = 2 sen(t), y = 5 cos(t), no ponto onde t = pi / 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a equação da reta tangente à curva definida por e no ponto onde . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente derivadas de funções paramétricas para determinar a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as coordenadas do ponto na curva correspondente a . Vamos calcular e substituindo na equação paramétrica.
Sabemos que e , então:
Portanto, o ponto é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto. Para curvas parametrizadas, a inclinação da tangente é dada por:
Vamos calcular e .
Primeiro, derivamos e em relação a :

Passo 4

Substituindo nessas derivadas:
Então, a inclinação é:

Passo 5

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto dado é:

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