Ache uma equação da reta tangente à curva , no ponto onde .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a equação da reta tangente à curva definida por e no ponto onde . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente derivadas de funções paramétricas para determinar a inclinação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as coordenadas do ponto na curva correspondente a . Vamos calcular e substituindo na equação paramétrica.
Sabemos que e , então:
Portanto, o ponto é .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto. Para curvas parametrizadas, a inclinação da tangente é dada por:
Vamos calcular e .
Primeiro, derivamos e em relação a :
Passo 4
Substituindo nessas derivadas:
Então, a inclinação é:
Passo 5
Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto dado é: