Considere o sólido S que é delimitado pela superfície esférica x^2 + y^2 + z^2 = 9 e pelo plano z = 1. A densidade delta(x, y, z), no ponto (x, y, z), é diretamente é diretamente proporcional à coordenada z do ponto (x, y, z). Encontre a massa de S.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a massa de um sólido que está dentro de uma esfera com equação e acima do plano . A densidade nesse sólido é proporcional à coordenada de cada ponto, ou seja, , onde é uma constante de proporcionalidade. A matéria que vamos usar aqui envolve cálculo de integrais triplas em coordenadas cilíndricas para calcular a massa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites do nosso sólido . A esfera tem raio (porque ), e o plano corta essa esfera. Então, é a parte da esfera que está acima de .

Passo 3

Agora, vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar a integração. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
  • O elemento de volume é

Passo 4

Precisamos determinar os limites de integração:
  • varia de a (ângulo completo ao redor do eixo )
  • varia de até (a partir da equação da esfera)
  • varia de até (entre o plano e a superfície da esfera)

Passo 5

A massa é dada pela integral da densidade sobre o volume:
Aqui, (já que a constante de proporcionalidade pode ser absorvida na integral).

Passo 6

Vamos calcular a integral interna em relação a :

Passo 7

Substituindo na integral, temos:
Simplificando:

Passo 8

Calculando a integral em relação a :

Passo 9

Finalmente, integrando em relação a :

Resposta

A massa do sólido é unidades de massa.

Exercícios relacionados