Considere o sólido
que é delimitado pela superfície esférica
e pelo plano
. A densidade
, no ponto
, é diretamente é diretamente proporcional à coordenada
do ponto
. Encontre a massa de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a massa de um sólido
que está dentro de uma esfera com equação
e acima do plano
. A densidade nesse sólido é proporcional à coordenada
de cada ponto, ou seja,
, onde
é uma constante de proporcionalidade. A matéria que vamos usar aqui envolve cálculo de integrais triplas em coordenadas cilíndricas para calcular a massa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites do nosso sólido
. A esfera tem raio
(porque
), e o plano
corta essa esfera. Então,
é a parte da esfera que está acima de
.
Passo 3
Agora, vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar a integração. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
-
-
-
- O elemento de volume é
Passo 4
Precisamos determinar os limites de integração:
-
varia de a (ângulo completo ao redor do eixo ) -
varia de até (a partir da equação da esfera) -
varia de até (entre o plano e a superfície da esfera)
Passo 5
A massa
é dada pela integral da densidade sobre o volume:
Aqui,
(já que a constante de proporcionalidade
pode ser absorvida na integral).
Passo 6
Vamos calcular a integral interna em relação a
:
Passo 7
Substituindo na integral, temos:
Simplificando:
Passo 8
Calculando a integral em relação a
:
Passo 9
Finalmente, integrando em relação a
:
Resposta
A massa do sólido
é
unidades de massa.