Nos exercícios de 7 a 12 , ache
e
, sem eliminar o parâmetro.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a primeira e a segunda derivada de
em relação a
(
e
) usando parametrização, sem eliminar o parâmetro
. As funções que temos são:
Vamos precisar usar a derivação paramétrica para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando temos
e
em função de um parâmetro
, a primeira derivada
é calculada como:
Então, vamos calcular
e
.
Passo 3
Calculando
:
E agora
:
Passo 4
Agora que temos
e
, vamos substituir na fórmula da primeira derivada:
Podemos simplificar essa expressão usando identidades trigonométricas.
Passo 5
Sabemos que
e
. Substituindo:
Então, a primeira derivada é
.
Passo 6
Agora, vamos calcular a segunda derivada
. A fórmula para a segunda derivada em parametrização é:
Já sabemos que
, então vamos derivar isso em relação a
.
Passo 7
Derivando
em relação a
:
Agora, substituímos na fórmula da segunda derivada:
Passo 8
Vamos simplificar a expressão:
Usando as identidades
,
,
e
, substituímos: