Nos exercícios de 7 a 12 , ache d/y d/x e d²y/dx², sem eliminar o parâmetro.
x = sec(t), y = tan(t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a primeira e a segunda derivada de em relação a ( e ) usando parametrização, sem eliminar o parâmetro . As funções que temos são:
Vamos precisar usar a derivação paramétrica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos e em função de um parâmetro , a primeira derivada é calculada como:
Então, vamos calcular e .

Passo 3

Calculando :
E agora :

Passo 4

Agora que temos e , vamos substituir na fórmula da primeira derivada:
Podemos simplificar essa expressão usando identidades trigonométricas.

Passo 5

Sabemos que e . Substituindo:
Então, a primeira derivada é .

Passo 6

Agora, vamos calcular a segunda derivada . A fórmula para a segunda derivada em parametrização é:
Já sabemos que , então vamos derivar isso em relação a .

Passo 7

Derivando em relação a :
Agora, substituímos na fórmula da segunda derivada:

Passo 8

Vamos simplificar a expressão:
Usando as identidades , , e , substituímos:

Resposta

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