Ache a equação da reta tangente a curva
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação da reta tangente à curva definida por
no ponto
. Para isso, vamos usar o conteúdo de derivadas implícitas, que ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente quando a equação da curva não está resolvida para
em função de
.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Como a equação está de forma implícita (não está isolando
), vamos usar a derivada implícita. Isso significa que vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
.
Passo 3
Vamos derivar cada termo da equação
:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
é . - Para derivar
, usamos a regra da cadeia. A derivada é vezes a derivada do argumento .
Agora, a derivada do argumento
em relação a
é:
- Derivada de
é . - Derivada de
é (usando a regra da cadeia novamente).
Então, a derivada total do lado direito fica:
Passo 4
Agora, vamos montar a equação com todas as derivadas:
Queremos resolver essa equação para
.
Passo 5
Vamos isolar
:
Primeiro, distribuímos o
:
Agora, juntamos os termos que contêm
:
Fatoramos
:
Finalmente, isolamos
:
Passo 6
Agora, vamos substituir o ponto
na derivada para encontrar a inclinação da reta tangente.
Substituindo
e
:
Simplificando:
Sabemos que
, então:
A inclinação da reta tangente é
.
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto
é:
Ou, simplificando:
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.
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sujeitos à restrição
.
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sobre a reta
.
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sobre a circunferência na qual há interseção do plano
com a esfera
.