Encontre os valores extremos da função f(x, y, z) = x * y + z^2 sobre a circunferência na qual há interseção do plano y - x = 0 com a esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores extremos da função sobre a circunferência que é a interseção do plano com a esfera . Para isso, vamos usar técnicas de otimização com restrições, que envolvem substituir as condições dadas para simplificar a função e encontrar seus máximos e mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as restrições. O plano nos diz que . Vamos substituir isso na equação da esfera para simplificar.

Passo 3

Substituindo na equação da esfera:
Então, temos a relação .

Passo 4

Agora, vamos expressar em termos de :

Passo 5

Vamos substituir e na função :

Passo 6

Substituindo na função:
Agora, a função ficou dependente apenas de .

Passo 7

Para encontrar os valores extremos de , precisamos analisar os valores possíveis de .
Sabemos que é sempre maior ou igual a 0. Além disso, da relação , temos que , ou seja, .
Portanto, varia entre 0 e 2:

Passo 8

Substituindo os limites de na função :
  • Quando :
  • Quando :

Passo 9

Agora, vamos encontrar os pontos onde esses valores ocorrem.
  • Para :
Então, temos os pontos e .
  • Para :
Então, temos os pontos e .

Resposta

Os valores extremos da função são:
  • Máximo: nos pontos e .
  • Mínimo: nos pontos e .

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