Encontre os valores extremos da função
sobre a circunferência na qual há interseção do plano
com a esfera
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores extremos da função
sobre a circunferência que é a interseção do plano
com a esfera
. Para isso, vamos usar técnicas de otimização com restrições, que envolvem substituir as condições dadas para simplificar a função e encontrar seus máximos e mínimos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as restrições. O plano
nos diz que
. Vamos substituir isso na equação da esfera para simplificar.
Passo 3
Substituindo
na equação da esfera:
Então, temos a relação
.
Passo 4
Agora, vamos expressar
em termos de
:
Passo 5
Vamos substituir
e
na função
:
Passo 6
Substituindo
na função:
Agora, a função ficou dependente apenas de
.
Passo 7
Para encontrar os valores extremos de
, precisamos analisar os valores possíveis de
.
Sabemos que
é sempre maior ou igual a 0. Além disso, da relação
, temos que
, ou seja,
.
Portanto,
varia entre 0 e 2:
Passo 8
Substituindo os limites de
na função
:
- Quando
:
- Quando
:
Passo 9
Agora, vamos encontrar os pontos onde esses valores ocorrem.
- Para
:
Então, temos os pontos
e
.
- Para
:
Então, temos os pontos
e
.
Resposta
Os valores extremos da função são:
- Máximo:
nos pontos e . - Mínimo:
nos pontos e .
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sobre a reta
.
Ache a equação da reta tangente a curva
no ponto
.
Verifique se são convergentes:
Uma indústria deseja fabricar caixas iguais em forma de paralelepípedo com volume por caixa igual a 128 unidades de volume. O material a ser utilizado na base tem custo de
por unidade de área, o material a ser usado nas paredes laterais tem custo de
por unidade de área e o material a ser usado na tampa tem custo de
por unidade de área. Encontre as dimensões da caixa com menor custo de material.