Encontre os valores máximos e mínimos de
sujeitos à restrição
.
Passo 1
Então, a gente tem um problema de otimização aqui. Precisamos encontrar os valores máximos e mínimos da expressão
, mas com uma condição que liga
e
:
. Basicamente, queremos saber onde essa soma de quadrados atinge seus pontos mais altos e mais baixos, seguindo essa restrição. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de geometria e cálculo, especialmente completando quadrados e entendendo as propriedades de círculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a restrição
. Parece meio complicada, mas podemos simplificar completando os quadrados para
e
. Completar quadrados ajuda a reescrever expressões quadráticas de uma forma que é mais fácil de interpretar, especialmente quando se trata de círculos ou parábolas.
Passo 3
Para o termo envolvendo
: temos
. Podemos reescrever isso como
, porque:
Passo 4
Fazendo o mesmo para o termo envolvendo
: temos
. Isso pode ser reescrito como
, porque:
Passo 5
Agora, substituímos essas expressões na nossa restrição original:
Simplificando:
Isso representa um círculo com centro em
e raio
.
Passo 6
Agora queremos otimizar
nesse círculo. Geometricamente,
representa o quadrado da distância do ponto
à origem. Então, estamos procurando os pontos no círculo que estão mais próximos e mais distantes da origem.
Passo 7
Para encontrar esses pontos, podemos usar a geometria. Sabemos que a distância do centro do círculo
à origem é:
O raio do círculo também é
. Portanto, o ponto mais próximo da origem estará nessa direção e a distância mínima será
, mas isso não faz sentido, então na verdade o círculo passa pela origem.
Passo 8
Na verdade, como o centro está a
da origem e o raio também é
, os pontos mais próximos e mais distantes da origem estarão nessa linha. Portanto:
- O ponto mais próximo é a origem
, onde . - O ponto mais distante estará diametralmente oposto no círculo, a uma distância total de
. Então .
Resposta
Os valores mínimos e máximos de
sujeitos à restrição são:
- Mínimo:
- Máximo:
Exercícios relacionados
Verifique se são convergentes:
Determine todos os valores de
para que a equação
tenha uma única solução real.
Calcule a derivada da função
.
Ache a equação da reta tangente a curva
no ponto
.