Encontre os valores máximos e mínimos de x^2 + y^2 sujeitos à restrição x^2 - 2x + y^2 - 4y = 0.

Passo 1

Então, a gente tem um problema de otimização aqui. Precisamos encontrar os valores máximos e mínimos da expressão , mas com uma condição que liga e : . Basicamente, queremos saber onde essa soma de quadrados atinge seus pontos mais altos e mais baixos, seguindo essa restrição. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de geometria e cálculo, especialmente completando quadrados e entendendo as propriedades de círculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a restrição . Parece meio complicada, mas podemos simplificar completando os quadrados para e . Completar quadrados ajuda a reescrever expressões quadráticas de uma forma que é mais fácil de interpretar, especialmente quando se trata de círculos ou parábolas.

Passo 3

Para o termo envolvendo : temos . Podemos reescrever isso como , porque:

Passo 4

Fazendo o mesmo para o termo envolvendo : temos . Isso pode ser reescrito como , porque:

Passo 5

Agora, substituímos essas expressões na nossa restrição original:
Simplificando:
Isso representa um círculo com centro em e raio .

Passo 6

Agora queremos otimizar nesse círculo. Geometricamente, representa o quadrado da distância do ponto à origem. Então, estamos procurando os pontos no círculo que estão mais próximos e mais distantes da origem.

Passo 7

Para encontrar esses pontos, podemos usar a geometria. Sabemos que a distância do centro do círculo à origem é:
O raio do círculo também é . Portanto, o ponto mais próximo da origem estará nessa direção e a distância mínima será , mas isso não faz sentido, então na verdade o círculo passa pela origem.

Passo 8

Na verdade, como o centro está a da origem e o raio também é , os pontos mais próximos e mais distantes da origem estarão nessa linha. Portanto:
  • O ponto mais próximo é a origem , onde .
  • O ponto mais distante estará diametralmente oposto no círculo, a uma distância total de . Então .

Resposta

Os valores mínimos e máximos de sujeitos à restrição são:
  • Mínimo:
  • Máximo:

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