Encontre o valor máximo de
sobre a reta
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor máximo da função
na reta
. Isso envolve otimização de funções com restrição linear. Para resolver, vamos precisar substituir uma variável pela outra usando a equação da reta e então encontrar o ponto onde a função atinge seu valor máximo.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar uma das variáveis na equação da reta para facilitar a substituição. Vou isolar o
:
Passo 3
Agora que temos
em termos de
, vamos substituir isso na função
:
Passo 4
Vamos expandir o termo
:
Substituindo de volta na função:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Passo 6
Agora temos uma função quadrática em
:
Sabemos que essa parábola abre para baixo (coeficiente de
negativo), então o valor máximo ocorre no vértice.
Passo 7
A fórmula para a coordenada
do vértice de uma parábola
é:
Aqui,
e
, então:
Passo 8
Com
, vamos encontrar o valor correspondente de
usando a equação da reta:
Passo 9
Agora, substituímos
e
na função original para encontrar o valor máximo:
Resposta
O valor máximo de
sobre a reta
é 39, atingido no ponto
.
Exercícios relacionados
Ache a equação da reta tangente a curva
no ponto
.
Calcule a derivada da função
.
Encontre os valores extremos da função
sobre a circunferência na qual há interseção do plano
com a esfera
.
Verifique se são convergentes: