Ache a equação dos seguintes círculos: Centro (3,-2) tangente a 2 x-y=0

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo: precisamos encontrar a equação de um círculo que tem centro no ponto (3, -2) e que é tangente à reta 2x - y = 0. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a equação do círculo e a distância entre um ponto e uma reta.

Passo 2

Primeiro, lembremos a fórmula da equação geral de um círculo. Se um círculo tem centro no ponto (h, k) e raio r, sua equação é:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
No nosso caso, o centro do círculo é (3, -2). Substituindo esses valores na fórmula, temos:
(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = r^2
Agora, precisamos descobrir o valor do raio r.

Passo 3

Sabemos que o círculo é tangente à reta 2x - y = 0. Isso significa que a distância entre o centro do círculo (3, -2) e essa reta é exatamente igual ao raio r do círculo. Então, vamos calcular essa distância.
A fórmula para calcular a distância d entre um ponto (x0, y0) e uma reta Ax + By + C = 0 é:
d = |A x0 + B y0 + C|raizA^2 + B^2

Passo 4

Aplicando a fórmula de distância à nossa situação:
A reta dada é 2x - y = 0, que podemos reescrever como 2x - y + 0 = 0. Então, temos:
  • A = 2
  • B = -1
  • C = 0
O centro do círculo é (3, -2), então x0 = 3 e y0 = -2.
Substituindo na fórmula:
r = |2 cdot 3 + (-1) cdot (-2) + 0|raiz2^2 + (-1)^2 = |6 + 2|raiz4 + 1 = 8raiz5

Passo 5

Agora que temos o valor do raio, podemos substituir esse valor na equação do círculo que montamos no Passo 2:
(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = (8raiz5)^2 = 645

Resposta

A equação do círculo é:
(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 645

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