(UFC) O valor do número complexo [1+i^31+i^2T]^30 e:

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício de números complexos juntos. O enunciado pede para encontrar o valor do número complexo . Para isso, vamos precisar entender como simplificar potências de e trabalhar com frações envolvendo números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar as potências de . Sabemos que:
E esse ciclo se repete a cada 4 potências. Então:

Passo 3

Substituindo essas simplificações na expressão original:
[1 + i^31 + i^2T]^30 = [1 - i1 + (-1)^T]^30

Passo 4

Agora, vamos analisar o denominador :
  • Se for par, , então
  • Se for ímpar, , então (o que deixaria a expressão indefinida)
Vamos assumir que é par para prosseguir.

Passo 5

Com [1 - i2]^30 par, a expressão fica:

Passo 6

Agora, vamos reescrever 1 - i = raiz2 cdot e^-ipi4 na forma polar para facilitar a potenciação. Primeiro, calculamos o módulo e o argumento:
  • Módulo:
  • Argumento: ou radianos
Então:

Passo 7

Elevando à potência de 30:
(1 - i2)^30 = (raiz2 cdot e^-ipi42)^30 = (raiz22)^30 cdot e^-i30pi4
Simplificando:
(raiz22)^30 = (2^1/22)^30 = (2^-1/2)^30 = 2^-15
E o argumento:
e^-i30pi4 = e^-i15pi2 = e^-i(7pi + pi2) = e^-ipi2 = -i

Passo 8

Juntando tudo:
[1 - i2]^30 = 2^-15 cdot (-i) = -i2^15 = -i32768

Resposta

O valor do número complexo é .

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