(UFC) O valor do número complexo
e:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício de números complexos juntos. O enunciado pede para encontrar o valor do número complexo
. Para isso, vamos precisar entender como simplificar potências de
e trabalhar com frações envolvendo números complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar as potências de
. Sabemos que:
E esse ciclo se repete a cada 4 potências. Então:
Passo 3
Substituindo essas simplificações na expressão original:
Passo 4
Agora, vamos analisar o denominador
:
- Se
for par, , então - Se
for ímpar, , então (o que deixaria a expressão indefinida)
Vamos assumir que
é par para prosseguir.
Passo 5
Com
par, a expressão fica:
Passo 6
Agora, vamos reescrever
na forma polar para facilitar a potenciação. Primeiro, calculamos o módulo e o argumento:
- Módulo:
- Argumento:
ou radianos
Então:
Passo 7
Elevando à potência de 30:
Simplificando:
E o argumento:
Passo 8
Juntando tudo:
Resposta
O valor do número complexo é
.