(UFC) O valor do número complexo e:

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício de números complexos juntos. O enunciado pede para encontrar o valor do número complexo . Para isso, vamos precisar entender como simplificar potências de e trabalhar com frações envolvendo números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar as potências de . Sabemos que:
E esse ciclo se repete a cada 4 potências. Então:

Passo 3

Substituindo essas simplificações na expressão original:

Passo 4

Agora, vamos analisar o denominador :
  • Se for par, , então
  • Se for ímpar, , então (o que deixaria a expressão indefinida)
Vamos assumir que é par para prosseguir.

Passo 5

Com par, a expressão fica:

Passo 6

Agora, vamos reescrever na forma polar para facilitar a potenciação. Primeiro, calculamos o módulo e o argumento:
  • Módulo:
  • Argumento: ou radianos
Então:

Passo 7

Elevando à potência de 30:
Simplificando:
E o argumento:

Passo 8

Juntando tudo:

Resposta

O valor do número complexo é .

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