Ache a equação dos seguintes círculos: Tangente a no ponto e raio 3 (duas respostas)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de dois círculos que são tangentes à reta no ponto e que têm raio igual a 3. Vou te mostrar passo a passo como fazer isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um círculo é:
onde é o centro do círculo e é o raio. Nosso objetivo é encontrar e .

Passo 3

Sabemos que o círculo é tangente à reta no ponto . Isso significa que está no círculo e que a reta toca o círculo exatamente nesse ponto.

Passo 4

Como está no círculo, podemos substituir esses valores na equação do círculo:
Essa é nossa primeira equação.

Passo 5

Além disso, como a reta é tangente ao círculo no ponto , o vetor normal da reta é perpendicular ao raio do círculo no ponto de tangência. O vetor normal da reta é .

Passo 6

O raio do círculo no ponto passa pelo centro , então a direção desse raio é . Como esse vetor deve ser paralelo ao vetor normal da reta, temos:
Isso nos dá uma relação entre e .

Passo 7

Vamos chamar essa razão igual a :
Dessa forma:

Passo 8

Agora, substituímos e na primeira equação que obtivemos:

Passo 9

Agora que temos os valores de , podemos encontrar os valores correspondentes de e :
Para :
Para :

Passo 10

Finalmente, substituímos esses valores de e na equação geral do círculo:
Para :
Para :

Resposta

As duas equações dos círculos são:
e

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Dado o conjunto
Determine uma base de .