Ache a equação dos seguintes círculos: Tangente a 2 x-5 y+1=0 no ponto (2,1) e raio 3 (duas respostas)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de dois círculos que são tangentes à reta no ponto e que têm raio igual a 3. Vou te mostrar passo a passo como fazer isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um círculo é:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
onde é o centro do círculo e é o raio. Nosso objetivo é encontrar e .

Passo 3

Sabemos que o círculo é tangente à reta no ponto . Isso significa que está no círculo e que a reta toca o círculo exatamente nesse ponto.

Passo 4

Como (2 - h)^2 + (1 - k)^2 = 3^2 está no círculo, podemos substituir esses valores na equação do círculo:
(2 - h)^2 + (1 - k)^2 = 9
Essa é nossa primeira equação.

Passo 5

Além disso, como a reta é tangente ao círculo no ponto , o vetor normal da reta é perpendicular ao raio do círculo no ponto de tangência. O vetor normal da reta é .

Passo 6

O raio do círculo no ponto h - 22 = k - 1-5 passa pelo centro , então a direção desse raio é . Como esse vetor deve ser paralelo ao vetor normal da reta, temos:
Isso nos dá uma relação entre e .

Passo 7

Vamos chamar essa razão igual a h - 2 = 2m e k - 1 = -5m :
h = 2 + 2m e k = 1 - 5m
Dessa forma:

Passo 8

Agora, substituímos (2 - (2 + 2m))^2 + (1 - (1 - 5m))^2 = 9 e (-2m)^2 + (5m)^2 = 9 na primeira equação que obtivemos:
4m^2 + 25m^2 = 9
29m^2 = 9
m^2 = 929
m = pm 3raiz29

Passo 9

Agora que temos os valores de h = 2 + 2(3raiz29) = 2 + 6raiz29 , podemos encontrar os valores correspondentes de k = 1 - 5(3raiz29) = 1 - 15raiz29 e h = 2 + 2(-3raiz29) = 2 - 6raiz29 :
Para k = 1 - 5(-3raiz29) = 1 + 15raiz29 :
Para :

Passo 10

Finalmente, substituímos esses valores de (x - (2 + 6raiz29))^2 + (y - (1 - 15raiz29))^2 = 9 e (x - (2 - 6raiz29))^2 + (y - (1 + 15raiz29))^2 = 9 na equação geral do círculo:
Para :
Para :

Resposta

As duas equações dos círculos são:
(x - (2 + 6raiz29))^2 + (y - (1 - 15raiz29))^2 = 9
e
(x - (2 - 6raiz29))^2 + (y - (1 + 15raiz29))^2 = 9

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