(UFSM) (Modificado) Admitindo que o centro do plano complexo coincida com o centro de um relógio analógico, se o ponteiro dos minutos tiver 4 unidades de comprimento, estará, às 16 horas e 50 minutos, sobre o número complexo:

Passo 1

Então, galera! A gente tem aqui um exercício que relaciona o relógio analógico com o plano complexo. Basicamente, o centro do relógio está no centro do plano complexo. Nosso objetivo é descobrir onde está o ponteiro dos minutos às 16 horas e 50 minutos. Vamos precisar entender como representar posições no plano complexo usando números complexos e algumas noções básicas de ângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre o tempo e os ângulos. Em um relógio, cada minuto corresponde a 6 graus porque o relógio tem 360 graus e 60 minutos (360 ÷ 60 = 6). Então, às 50 minutos, o ponteiro dos minutos terá se movido 50 × 6 = 300 graus desde as 12 horas.

Passo 3

No plano complexo, representamos a posição de um ponto usando números complexos da forma theta = pi2 - graus do minuto em radianos , onde:
  • é a distância do ponto até a origem (neste caso, o comprimento do ponteiro).
  • é o ângulo em radianos a partir do eixo positivo real (geralmente, a direita).
Como o relógio começa as 12 horas no topo, que corresponde a 90 graus no plano complexo, precisamos ajustar nosso ângulo. Além disso, o relógio anda no sentido horário, enquanto no plano complexo os ângulos aumentam no sentido anti-horário. Por isso, o ângulo total será:

Passo 4

Convertendo os 300 graus para radianos:
300^circ = 300 times ( pi180 ) = 5pi3 radianos
Agora, ajustamos o ângulo considerando o sentido horário:
theta = pi2 - 5pi3 = -2pi3 radianos

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula do número complexo:
z = r(costheta + isintheta)
Onde z = 4( cos(-2pi3) + isin(-2pi3) ) unidades (comprimento do ponteiro) e :

Passo 6

Calculando os valores das funções trigonométricas:
cos(-2pi3) = cos(2pi3) = -12
sin(-2pi3) = -sin(2pi3) = -raiz32
Substituindo na expressão de z = 4( -12 - iraiz32 ) :
z = -2 - 2iraiz3

Resposta

O ponteiro dos minutos estará sobre o número complexo .

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