(UFSM) (Modificado) Admitindo que o centro do plano complexo coincida com o centro de um relógio analógico, se o ponteiro dos minutos tiver 4 unidades de comprimento, estará, às 16 horas e 50 minutos, sobre o número complexo:

Passo 1

Então, galera! A gente tem aqui um exercício que relaciona o relógio analógico com o plano complexo. Basicamente, o centro do relógio está no centro do plano complexo. Nosso objetivo é descobrir onde está o ponteiro dos minutos às 16 horas e 50 minutos. Vamos precisar entender como representar posições no plano complexo usando números complexos e algumas noções básicas de ângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre o tempo e os ângulos. Em um relógio, cada minuto corresponde a 6 graus porque o relógio tem 360 graus e 60 minutos (360 ÷ 60 = 6). Então, às 50 minutos, o ponteiro dos minutos terá se movido 50 × 6 = 300 graus desde as 12 horas.

Passo 3

No plano complexo, representamos a posição de um ponto usando números complexos da forma , onde:
  • é a distância do ponto até a origem (neste caso, o comprimento do ponteiro).
  • é o ângulo em radianos a partir do eixo positivo real (geralmente, a direita).
Como o relógio começa as 12 horas no topo, que corresponde a 90 graus no plano complexo, precisamos ajustar nosso ângulo. Além disso, o relógio anda no sentido horário, enquanto no plano complexo os ângulos aumentam no sentido anti-horário. Por isso, o ângulo total será:

Passo 4

Convertendo os 300 graus para radianos:
Agora, ajustamos o ângulo considerando o sentido horário:

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula do número complexo:
Onde unidades (comprimento do ponteiro) e :

Passo 6

Calculando os valores das funções trigonométricas:
Substituindo na expressão de :

Resposta

O ponteiro dos minutos estará sobre o número complexo .

Exercícios relacionados

Ache a equação dos seguintes círculos: Tangente a no ponto e raio 3 (duas respostas)
(UFC) O valor do número complexo e:
Dado o conjunto
Determine uma base de .
Mostre que os seguintes conjuntos de vectores sâo linearmente dependentes:
;