Dado o conjunto
Determine uma base de
.
Determine uma base de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma base para o conjunto
, que é formado por matrizes
onde o elemento da posição
é sempre zero. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre espaços vetoriais e bases. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base e como identificar vetores que a formam.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma base. Em Álgebra Linear, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Isso significa que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores da base.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o conjunto
. As matrizes em
têm a seguinte forma:
Onde
,
e
são números reais. Nosso objetivo é encontrar matrizes que possam gerar qualquer matriz dessa forma através de combinações lineares e que sejam linearmente independentes.
Passo 4
Vamos expressar uma matriz genérica de
como uma combinação linear de matrizes básicas:
Aqui, cada matriz multiplicada pelos coeficientes
,
e
representa uma “direção” no espaço
.
Passo 5
As matrizes que usamos para gerar
são:
Precisamos verificar se essas matrizes são linearmente independentes. Isso significa que a única combinação linear que resulta na matriz nula é aquela em que todos os coeficientes são zero.
Passo 6
Vamos supor que:
Isso resulta em:
[
]
O que nos dá as equações:
Isso mostra que as únicas soluções são triviais, então as matrizes são linearmente independentes.
Resposta
Uma base de
é formada pelas seguintes matrizes:
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(UFSM) (Modificado) Admitindo que o centro do plano complexo coincida com o centro de um relógio analógico, se o ponteiro dos minutos tiver 4 unidades de comprimento, estará, às 16 horas e 50 minutos, sobre o número complexo:
Ache a equação dos seguintes círculos: Tangente a
no ponto
e raio 3 (duas respostas)
Mostre que os seguintes conjuntos de vectores sâo linearmente dependentes:
;
Considere em
o conjunto
. Calcule o - único par
que faz com que
não gere
.