Dado o conjunto W=[lla & b 0 & c] ; a, b, c in R
Determine uma base de W.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma base para o conjunto , que é formado por matrizes onde o elemento da posição é sempre zero. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre espaços vetoriais e bases. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base e como identificar vetores que a formam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma base. Em Álgebra Linear, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Isso significa que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores da base.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o conjunto a & b 0 & c . As matrizes em têm a seguinte forma:
Onde , e são números reais. Nosso objetivo é encontrar matrizes que possam gerar qualquer matriz dessa forma através de combinações lineares e que sejam linearmente independentes.

Passo 4

Vamos expressar uma matriz genérica de a & b 0 & c = a cdot 1 & 0 0 & 0 + b cdot 0 & 1 0 & 0 + c cdot 0 & 0 0 & 1 como uma combinação linear de matrizes básicas:
Aqui, cada matriz multiplicada pelos coeficientes , e representa uma “direção” no espaço .

Passo 5

As matrizes que usamos para gerar 1 & 0 0 & 0 , 0 & 1 0 & 0 , 0 & 0 0 & 1 são:
Precisamos verificar se essas matrizes são linearmente independentes. Isso significa que a única combinação linear que resulta na matriz nula é aquela em que todos os coeficientes são zero.

Passo 6

Vamos supor que:
x cdot 1 & 0 0 & 0 + y cdot 0 & 1 0 & 0 + z cdot 0 & 0 0 & 1 = 0 & 0 0 & 0
Isso resulta em:

[
x & y 0 & z = 0 & 0 0 & 0

x = 0, y = 0, z = 0
]
O que nos dá as equações:
Isso mostra que as únicas soluções são triviais, então as matrizes são linearmente independentes.

Resposta

Uma base de 1 & 0 0 & 0 , 0 & 1 0 & 0 , 0 & 0 0 & 1 é formada pelas seguintes matrizes:

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