Ache uma equação da superfície esférica de centro
tangente ao plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma esfera que tem o centro no ponto
e que é tangente ao plano dado pela equação
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, especificamente a fórmula da esfera e a distância de um ponto a um plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a equação de uma esfera. Ela tem a forma:
onde
é o centro da esfera e
é o raio.
Passo 3
Sabemos que o centro da nossa esfera é
. Então, substituindo esses valores na equação geral, temos:
Agora, precisamos encontrar o valor de
, o raio da esfera.
Passo 4
Como a esfera é tangente ao plano
, a distância do centro da esfera a esse plano será exatamente igual ao raio
. Vamos calcular essa distância.
Passo 5
A fórmula para a distância
de um ponto
a um plano
é:
No nosso caso, o ponto é
e o plano é
. Vamos substituir esses valores na fórmula.
Passo 6
Aplicando os valores na fórmula:
Portanto, o raio
da esfera é 4.
Resposta
A equação da esfera é:
Exercícios relacionados
Dado o ponto
e o vetor
, pede-se: Escrever equações paramétricas da reta
que passa por
e tem a direção de
;
Dê uma equação vetorial da reta
perpendicular ao plano
de equação
, e que contém um diâmetro da superfície esférica
de equação
.
Por meio de uma rotação e translação de eixos reduzir as equações das cônicas a seguir a sua forma mais simples. Traçar a curva, apresentando os três sistemas de eixos coordenados.
(b) .
(b)
Dado o ponto
e o vetor
, pede-se: Encontrar os dois pontos
e
de
de parâmetros
e
, respectivamente;