Ache uma equação da superfície esférica de centro C=(1,2,-2) tangente ao plano x+2 y-2 z+3=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma esfera que tem o centro no ponto e que é tangente ao plano dado pela equação . Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, especificamente a fórmula da esfera e a distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação de uma esfera. Ela tem a forma:
(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2
onde é o centro da esfera e é o raio.

Passo 3

Sabemos que o centro da nossa esfera é (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 2)^2 = R^2 . Então, substituindo esses valores na equação geral, temos:
Agora, precisamos encontrar o valor de , o raio da esfera.

Passo 4

Como a esfera é tangente ao plano , a distância do centro da esfera a esse plano será exatamente igual ao raio . Vamos calcular essa distância.

Passo 5

A fórmula para a distância D = |a x0 + b y0 + c z0 + d|raiza^2 + b^2 + c^2 de um ponto a um plano é:
No nosso caso, o ponto é e o plano é . Vamos substituir esses valores na fórmula.

Passo 6

Aplicando os valores na fórmula:
D = |1(1) + 2(2) - 2(-2) + 3|raiz1^2 + 2^2 + (-2)^2 = |1 + 4 + 4 + 3|raiz1 + 4 + 4 = 123 = 4
Portanto, o raio da esfera é 4.

Resposta

A equação da esfera é:
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 2)^2 = 16

Exercícios relacionados