Ache uma equação da superfície esférica de centro tangente ao plano .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma esfera que tem o centro no ponto e que é tangente ao plano dado pela equação . Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, especificamente a fórmula da esfera e a distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação de uma esfera. Ela tem a forma:
onde é o centro da esfera e é o raio.

Passo 3

Sabemos que o centro da nossa esfera é . Então, substituindo esses valores na equação geral, temos:
Agora, precisamos encontrar o valor de , o raio da esfera.

Passo 4

Como a esfera é tangente ao plano , a distância do centro da esfera a esse plano será exatamente igual ao raio . Vamos calcular essa distância.

Passo 5

A fórmula para a distância de um ponto a um plano é:
No nosso caso, o ponto é e o plano é . Vamos substituir esses valores na fórmula.

Passo 6

Aplicando os valores na fórmula:
Portanto, o raio da esfera é 4.

Resposta

A equação da esfera é:

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