Por meio de uma rotação e translação de eixos reduzir as equações das cônicas a seguir a sua forma mais simples. Traçar a curva, apresentando os três sistemas de eixos coordenados.
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de cônica juntos! O enunciado pede para reduzir a equação
à sua forma mais simples usando rotação e translação de eixos. Aqui, vamos usar conceitos de álgebra para completar os quadrados e encontrar a forma padrão da cônica. Vamos precisar identificar o tipo de cônica (elipse, hipérbole, etc.) e aplicar as transformações necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação para agrupar os termos de
e
:
Agora, vamos completar os quadrados para
e
.
Passo 3
Para completar o quadrado em
, fatoramos o coeficiente de
:
Dentro do parêntese, complete o quadrado:
Então:
Distribuindo o 2:
Passo 4
Agora, completamos o quadrado para
. Primeiro, fatoramos o coeficiente de
:
Complete o quadrado dentro do parêntese:
Então:
Distribuindo o 3:
Passo 5
Agora, vamos reunir os termos constantes:
Adicionando 11 em ambos os lados:
Passo 6
Para deixar a equação na forma padrão, dividimos todos os termos por 18:
Passo 7
Essa é a forma padrão de uma elipse centrada em
com eixos de comprimento
e
. Portanto, fizemos uma translação dos eixos para o ponto
para simplificar a equação.
Resposta
A forma mais simples da cônica é uma elipse dada por:
Nesta forma, o centro da elipse está no ponto
.