Por meio de uma rotação e translação de eixos reduzir as equações das cônicas a seguir a sua forma mais simples. Traçar a curva, apresentando os três sistemas de eixos coordenados.
(b) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de cônica juntos! O enunciado pede para reduzir a equação à sua forma mais simples usando rotação e translação de eixos. Aqui, vamos usar conceitos de álgebra para completar os quadrados e encontrar a forma padrão da cônica. Vamos precisar identificar o tipo de cônica (elipse, hipérbole, etc.) e aplicar as transformações necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para agrupar os termos de e :
Agora, vamos completar os quadrados para e .

Passo 3

Para completar o quadrado em , fatoramos o coeficiente de :
Dentro do parêntese, complete o quadrado:
Então:
Distribuindo o 2:

Passo 4

Agora, completamos o quadrado para . Primeiro, fatoramos o coeficiente de :
Complete o quadrado dentro do parêntese:
Então:
Distribuindo o 3:

Passo 5

Agora, vamos reunir os termos constantes:
Adicionando 11 em ambos os lados:

Passo 6

Para deixar a equação na forma padrão, dividimos todos os termos por 18:

Passo 7

Essa é a forma padrão de uma elipse centrada em com eixos de comprimento e . Portanto, fizemos uma translação dos eixos para o ponto para simplificar a equação.

Resposta

A forma mais simples da cônica é uma elipse dada por:
Nesta forma, o centro da elipse está no ponto .

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