Por meio de uma rotação e translação de eixos reduzir as equações das cônicas a seguir a sua forma mais simples. Traçar a curva, apresentando os três sistemas de eixos coordenados.
(b) C: 2 x^2+3 y^2-8 x+6 y-7=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de cônica juntos! O enunciado pede para reduzir a equação à sua forma mais simples usando rotação e translação de eixos. Aqui, vamos usar conceitos de álgebra para completar os quadrados e encontrar a forma padrão da cônica. Vamos precisar identificar o tipo de cônica (elipse, hipérbole, etc.) e aplicar as transformações necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para agrupar os termos de 2x^2 - 8x + 3y^2 + 6y = 7 e :
Agora, vamos completar os quadrados para e .

Passo 3

Para completar o quadrado em 2(x^2 - 4x) + 3y^2 + 6y = 7 , fatoramos o coeficiente de x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4 :
2[(x - 2)^2 - 4] + 3y^2 + 6y = 7
Dentro do parêntese, complete o quadrado:
2(x - 2)^2 - 8 + 3y^2 + 6y = 7
Então:
Distribuindo o 2:

Passo 4

Agora, completamos o quadrado para 2(x - 2)^2 - 8 + 3(y^2 + 2y) = 7 . Primeiro, fatoramos o coeficiente de y^2 + 2y = (y + 1)^2 - 1 :
2(x - 2)^2 - 8 + 3[(y + 1)^2 - 1] = 7
Complete o quadrado dentro do parêntese:
2(x - 2)^2 - 8 + 3(y + 1)^2 - 3 = 7
Então:
Distribuindo o 3:

Passo 5

Agora, vamos reunir os termos constantes:
2(x - 2)^2 + 3(y + 1)^2 - 11 = 7
Adicionando 11 em ambos os lados:
2(x - 2)^2 + 3(y + 1)^2 = 18

Passo 6

Para deixar a equação na forma padrão, dividimos todos os termos por 18:
(x - 2)^29 + (y + 1)^26 = 1

Passo 7

Essa é a forma padrão de uma elipse centrada em com eixos de comprimento e . Portanto, fizemos uma translação dos eixos para o ponto para simplificar a equação.

Resposta

A forma mais simples da cônica é uma elipse dada por:
(x - 2)^29 + (y + 1)^26 = 1
Nesta forma, o centro da elipse está no ponto .

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