Dê uma equação vetorial da reta perpendicular ao plano de equação , e que contém um diâmetro da superfície esférica de equação .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a equação vetorial de uma reta que seja perpendicular ao plano dado por e que contém um diâmetro da superfície esférica dada por .
Para resolver isso, vamos precisar:
Entender a relação entre a reta e o plano para que sejam perpendiculares.
Encontrar o diâmetro da esfera .
Usar essas informações para construir a equação vetorial da reta .
Passo 2
Vamos começar encontrando o vetor normal ao plano . A equação geral de um plano é , onde é o vetor normal ao plano.
No nosso caso, a equação do plano é , então o vetor normal é:
Esse vetor será a direção da reta , já que é perpendicular ao plano .
Passo 3
Agora, vamos analisar a esfera (x - x0)^2 + (y - y0)^2 + (z - z0)^2 = R^2 . A equação geral de uma esfera é:
x^2 - 4x + y^2 - 4y + z^2 - 8z + 21 = 0
Onde (x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 4y + 4) + (z^2 - 8z + 16) = 0 + 4 + 4 + 16 é o centro e (x - 2)^2 + (y - 2)^2 + (z - 4)^2 = 25 é o raio.
Vamos completar os quadrados na equação dada:
Completando:
Então, o centro da esfera é e o raio é .
Passo 4
Um diâmetro da esfera é uma reta que passa pelo centro e liga dois pontos opostos na esfera. Portanto, qualquer diâmetro de terá como direção o vetor que liga esses dois pontos e passará pelo centro .
Como a reta contém um diâmetro da esfera, ela deve passar pelo centro e ter a mesma direção do vetor normal que encontramos no Passo 2.
Passo 5
Agora, temos todas as informações para construir a equação vetorial da reta r(t) = r0 + t v .
A equação vetorial de uma reta é dada por:
10 -2 4
Onde:
é um ponto por onde a reta passa.
é o vetor diretor da reta.
é um parâmetro real.
Sabemos que a reta passa pelo centro e tem como direção o vetor .
Passo 6
Substituindo os valores na equação vetorial:
r(t) = 2 2 4 + t 10 -2 4
Isso pode ser representado componente a componente como:
x = 2 + 10t y = 2 - 2t z = 4 + 4t
Resposta
A equação vetorial da reta r(t) = 2 2 4 + t 10 -2 4 , t in R é: