Dê uma equação vetorial da reta perpendicular ao plano de equação , e que contém um diâmetro da superfície esférica de equação .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a equação vetorial de uma reta que seja perpendicular ao plano dado por e que contém um diâmetro da superfície esférica dada por .
Para resolver isso, vamos precisar:
  • Entender a relação entre a reta e o plano para que sejam perpendiculares.
  • Encontrar o diâmetro da esfera .
  • Usar essas informações para construir a equação vetorial da reta .

Passo 2

Vamos começar encontrando o vetor normal ao plano . A equação geral de um plano é , onde é o vetor normal ao plano.
No nosso caso, a equação do plano é , então o vetor normal é:
Esse vetor será a direção da reta , já que é perpendicular ao plano .

Passo 3

Agora, vamos analisar a esfera . A equação geral de uma esfera é:
Onde é o centro e é o raio.
Vamos completar os quadrados na equação dada:
Completando:
Então, o centro da esfera é e o raio é .

Passo 4

Um diâmetro da esfera é uma reta que passa pelo centro e liga dois pontos opostos na esfera. Portanto, qualquer diâmetro de terá como direção o vetor que liga esses dois pontos e passará pelo centro .
Como a reta contém um diâmetro da esfera, ela deve passar pelo centro e ter a mesma direção do vetor normal que encontramos no Passo 2.

Passo 5

Agora, temos todas as informações para construir a equação vetorial da reta .
A equação vetorial de uma reta é dada por:
Onde:
  • é um ponto por onde a reta passa.
  • é o vetor diretor da reta.
  • é um parâmetro real.
Sabemos que a reta passa pelo centro e tem como direção o vetor .

Passo 6

Substituindo os valores na equação vetorial:
Isso pode ser representado componente a componente como:

Resposta

A equação vetorial da reta é:

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Sejam dada por dada por dada por e dada por . Determine, se possível:
Determinar uma aplicação linear tal que .
Dado o ponto e o vetor , pede-se: Escrever equações paramétricas da reta que passa por e tem a direção de ;
Ache uma equação da superfície esférica de centro tangente ao plano .