Dê uma equação vetorial da reta perpendicular ao plano de equação , e que contém um diâmetro da superfície esférica de equação .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a equação vetorial de uma reta que seja perpendicular ao plano dado por e que contém um diâmetro da superfície esférica dada por .
Para resolver isso, vamos precisar:
Entender a relação entre a reta e o plano para que sejam perpendiculares.
Encontrar o diâmetro da esfera .
Usar essas informações para construir a equação vetorial da reta .
Passo 2
Vamos começar encontrando o vetor normal ao plano . A equação geral de um plano é , onde é o vetor normal ao plano.
No nosso caso, a equação do plano é , então o vetor normal é:
Esse vetor será a direção da reta , já que é perpendicular ao plano .
Passo 3
Agora, vamos analisar a esfera . A equação geral de uma esfera é:
Onde é o centro e é o raio.
Vamos completar os quadrados na equação dada:
Completando:
Então, o centro da esfera é e o raio é .
Passo 4
Um diâmetro da esfera é uma reta que passa pelo centro e liga dois pontos opostos na esfera. Portanto, qualquer diâmetro de terá como direção o vetor que liga esses dois pontos e passará pelo centro .
Como a reta contém um diâmetro da esfera, ela deve passar pelo centro e ter a mesma direção do vetor normal que encontramos no Passo 2.
Passo 5
Agora, temos todas as informações para construir a equação vetorial da reta .
A equação vetorial de uma reta é dada por:
Onde:
é um ponto por onde a reta passa.
é o vetor diretor da reta.
é um parâmetro real.
Sabemos que a reta passa pelo centro e tem como direção o vetor .
Passo 6
Substituindo os valores na equação vetorial:
Isso pode ser representado componente a componente como: