Ache uma equação da superfície esférica que passa pelos pontos
e
e cujo centro está no plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma esfera que passa pelos pontos
,
e
. Além disso, o centro dessa esfera está no plano
. Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a equação geral da esfera e condições para determinar o centro e o raio.
Passo 2
Primeiro, lembra como é a equação geral de uma esfera no espaço tridimensional? Ela é dada por:
Aqui,
são as coordenadas do centro da esfera e
é o raio. Nos próximos passos, vamos usar os pontos dados para montar um sistema de equações e resolver para
,
,
e
.
Passo 3
Como o centro
está no plano
, podemos escrever uma relação entre
,
e
:
Isso já nos dá uma ligação entre as coordenadas do centro, facilitando a resolução.
Passo 4
Agora, vamos usar que os pontos
,
e
estão na esfera, ou seja, eles satisfazem a equação da esfera. Vamos substituir as coordenadas de cada ponto na equação:
Para o ponto
:
Para o ponto
:
Para o ponto
:
Passo 5
Como todas as três equações são iguais a
, podemos igualar duas a duas e eliminar
. Vamos começar igualando a equação de
com a de
:
Explicando: expandindo os quadrados e simplificando essa equação, conseguimos uma relação entre
e
.
Passo 6
Vamos desenvolver a equação:
Expandindo:
Simplificando termos semelhantes:
Cancelando
,
e
de ambos os lados:
Reorganizando:
Dividindo tudo por 4:
Passo 7
Lembrando que já sabemos que
(do Passo 3), podemos substituir na equação
:
Agora temos:
Passo 8
Com
, vamos usar outra equação resultante da igualdade das equações das esferas para encontrar
e
. Vamos igualar a equação de
com a de
:
Simplificando:
Cancelando termos semelhantes:
Expandindo:
Cancelando
:
Resolvendo para
:
Então,
. Como
:
Passo 9
Agora que encontramos
,
e
, falta encontrar o raio
. Vamos usar a equação da esfera com um dos pontos, por exemplo, o ponto
:
Calculando:
Resposta
A equação da esfera é: