Ache uma equação da superfície esférica que passa pelos pontos e e cujo centro está no plano .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma esfera que passa pelos pontos , e . Além disso, o centro dessa esfera está no plano . Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a equação geral da esfera e condições para determinar o centro e o raio.

Passo 2

Primeiro, lembra como é a equação geral de uma esfera no espaço tridimensional? Ela é dada por:
Aqui, são as coordenadas do centro da esfera e é o raio. Nos próximos passos, vamos usar os pontos dados para montar um sistema de equações e resolver para , , e .

Passo 3

Como o centro está no plano , podemos escrever uma relação entre , e :
Isso já nos dá uma ligação entre as coordenadas do centro, facilitando a resolução.

Passo 4

Agora, vamos usar que os pontos , e estão na esfera, ou seja, eles satisfazem a equação da esfera. Vamos substituir as coordenadas de cada ponto na equação:
Para o ponto :
Para o ponto :
Para o ponto :

Passo 5

Como todas as três equações são iguais a , podemos igualar duas a duas e eliminar . Vamos começar igualando a equação de com a de :
Explicando: expandindo os quadrados e simplificando essa equação, conseguimos uma relação entre e .

Passo 6

Vamos desenvolver a equação:
Expandindo:
Simplificando termos semelhantes:
Cancelando , e de ambos os lados:
Reorganizando:
Dividindo tudo por 4:

Passo 7

Lembrando que já sabemos que (do Passo 3), podemos substituir na equação :
Agora temos:

Passo 8

Com , vamos usar outra equação resultante da igualdade das equações das esferas para encontrar e . Vamos igualar a equação de com a de :
Simplificando:
Cancelando termos semelhantes:
Expandindo:
Cancelando :
Resolvendo para :
Então, . Como :

Passo 9

Agora que encontramos , e , falta encontrar o raio . Vamos usar a equação da esfera com um dos pontos, por exemplo, o ponto :
Calculando:

Resposta

A equação da esfera é:

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Por meio de uma rotação e translação de eixos reduzir as equações das cônicas a seguir a sua forma mais simples. Traçar a curva, apresentando os três sistemas de eixos coordenados.
(d) .
Determine o conjunto de valores reais de para que a equação represente
a) uma esfera.
b) um ponto.
c) um conjunto vazio.
Determine se a transformação linear dada é ou não injetora, se não for encontre um vetor não nulo cuja imagem seja zero.

Responda Verdadeiro ou Falso. Se verdadeiro apresente uma justificativa usando as propriedades de matrizes; se falso, dê um exemplo mostrando o contrário. (i) Se é uma matriz simétrica de ordem , então .