Ache uma equação da superfície esférica que passa pelos pontos M=(1,1,3), N=(3,3,5) e P=(3,1,5) e cujo centro está no plano x+y-z=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma esfera que passa pelos pontos , e . Além disso, o centro dessa esfera está no plano . Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a equação geral da esfera e condições para determinar o centro e o raio.

Passo 2

Primeiro, lembra como é a equação geral de uma esfera no espaço tridimensional? Ela é dada por:
(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2
Aqui, são as coordenadas do centro da esfera e é o raio. Nos próximos passos, vamos usar os pontos dados para montar um sistema de equações e resolver para , , e .

Passo 3

Como o centro a + b - c = 0 Rightarrow c = a + b está no plano , podemos escrever uma relação entre , e :
Isso já nos dá uma ligação entre as coordenadas do centro, facilitando a resolução.

Passo 4

Agora, vamos usar que os pontos (1 - a)^2 + (1 - b)^2 + (3 - c)^2 = r^2 , (3 - a)^2 + (3 - b)^2 + (5 - c)^2 = r^2 e (3 - a)^2 + (1 - b)^2 + (5 - c)^2 = r^2 estão na esfera, ou seja, eles satisfazem a equação da esfera. Vamos substituir as coordenadas de cada ponto na equação:
Para o ponto :
Para o ponto :
Para o ponto :

Passo 5

Como todas as três equações são iguais a (1 - a)^2 + (1 - b)^2 + (3 - c)^2 = (3 - a)^2 + (3 - b)^2 + (5 - c)^2 , podemos igualar duas a duas e eliminar . Vamos começar igualando a equação de com a de :
Explicando: expandindo os quadrados e simplificando essa equação, conseguimos uma relação entre e .

Passo 6

Vamos desenvolver a equação:
(1 - a)^2 + (1 - b)^2 + (3 - c)^2 = (3 - a)^2 + (3 - b)^2 + (5 - c)^2
Expandindo:
(1 - 2a + a^2) + (1 - 2b + b^2) + (9 - 6c + c^2) = (9 - 6a + a^2) + (9 - 6b + b^2) + (25 - 10c + c^2)
Simplificando termos semelhantes:
1 - 2a + a^2 + 1 - 2b + b^2 + 9 - 6c + c^2 = 9 - 6a + a^2 + 9 - 6b + b^2 + 25 - 10c + c^2
Cancelando 11 - 2a - 2b - 6c = 43 - 6a - 6b - 10c , -2a - 2b - 6c + 6a + 6b + 10c = 43 - 11 e 4a + 4b + 4c = 32 de ambos os lados:
a + b + c = 8
Reorganizando:
Dividindo tudo por 4:

Passo 7

Lembrando que já sabemos que a + b + (a + b) = 8 Rightarrow 2a + 2b = 8 Rightarrow a + b = 4 (do Passo 3), podemos substituir na equação c = a + b = 4 :
Agora temos:

Passo 8

Com (1 - a)^2 + (1 - b)^2 + (3 - 4)^2 = (3 - a)^2 + (1 - b)^2 + (5 - 4)^2 , vamos usar outra equação resultante da igualdade das equações das esferas para encontrar (1 - a)^2 + (1 - b)^2 + 1 = (3 - a)^2 + (1 - b)^2 + 1 e (1 - a)^2 = (3 - a)^2 . Vamos igualar a equação de 1 - 2a + a^2 = 9 - 6a + a^2 com a de 1 - 2a = 9 - 6a :
-2a + 6a = 9 - 1 Rightarrow 4a = 8 Rightarrow a = 2
Simplificando:
2 + b = 4 Rightarrow b = 2
Cancelando termos semelhantes:
Expandindo:
Cancelando :
Resolvendo para :
Então, . Como :

Passo 9

Agora que encontramos (1 - 2)^2 + (1 - 2)^2 + (3 - 4)^2 = r^2 , (-1)^2 + (-1)^2 + (-1)^2 = r^2 Rightarrow 1 + 1 + 1 = r^2 Rightarrow r^2 = 3 e , falta encontrar o raio . Vamos usar a equação da esfera com um dos pontos, por exemplo, o ponto :
Calculando:

Resposta

A equação da esfera é:
(x - 2)^2 + (y - 2)^2 + (z - 4)^2 = 3

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