Responda Verdadeiro ou Falso. Se verdadeiro apresente uma justificativa usando as propriedades de matrizes; se falso, dê um exemplo mostrando o contrário. (i) Se é uma matriz simétrica de ordem , então .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está nos pedindo para dizer se uma afirmação é verdadeira ou falsa. A afirmação é: “Se é uma matriz simétrica de ordem , então .” Estamos lidando com matrizes simétricas, que é um conceito dentro da álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma matriz simétrica e o que significa (a transposta de ).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz de ordem é chamada de simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja, . A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas. Por exemplo, se tiver um elemento na posição da linha e coluna , na transposta , esse elemento estará na posição da linha e coluna .

Passo 3

Agora, olhando para a afirmação: “Se é uma matriz simétrica de ordem , então .” Pelo que acabamos de ver, essa é exatamente a definição de uma matriz simétrica! Ou seja, dizer que uma matriz é simétrica já implica que ela é igual à sua transposta.

Resposta

Verdadeiro. Por definição, uma matriz simétrica satisfaz .

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