Responda Verdadeiro ou Falso. Se verdadeiro apresente uma justificativa usando as propriedades de matrizes; se falso, dê um exemplo mostrando o contrário. (i) Se
é uma matriz simétrica de ordem
, então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está nos pedindo para dizer se uma afirmação é verdadeira ou falsa. A afirmação é: “Se
é uma matriz simétrica de ordem
, então
.” Estamos lidando com matrizes simétricas, que é um conceito dentro da álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma matriz simétrica e o que significa
(a transposta de
).
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz
de ordem
é chamada de simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja,
. A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas. Por exemplo, se
tiver um elemento
na posição da linha
e coluna
, na transposta
, esse elemento estará na posição da linha
e coluna
.
Passo 3
Agora, olhando para a afirmação: “Se
é uma matriz simétrica de ordem
, então
.” Pelo que acabamos de ver, essa é exatamente a definição de uma matriz simétrica! Ou seja, dizer que uma matriz é simétrica já implica que ela é igual à sua transposta.
Resposta
Verdadeiro. Por definição, uma matriz simétrica
satisfaz
.
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não nulo cuja imagem seja zero.
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e
e cujo centro está no plano
.
Se A é uma matriz triangular inferior de ordem
, determine
.
Determine o centro
e o raio
da circunferência
onde
e
.