Determine se a transformação linear dada é ou não injetora, se não for encontre um vetor
não nulo cuja imagem seja zero.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se uma transformação linear
, definida por
, é injetora. Se não for, precisamos encontrar um vetor não nulo que, quando aplicado na transformação, dá zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares e injetividade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a transformação ser injetora. Uma transformação linear é injetora se cada vetor no espaço de chegada é imagem de no máximo um vetor no espaço de partida. Basicamente, não pode ter dois vetores diferentes que apontam para o mesmo lugar após a transformação.
Para verificar isso, precisamos analisar se a única solução para
é
e
. Se existir outro vetor diferente de zero que satisfaça essa equação, a transformação não é injetora.
Passo 3
Vamos montar o sistema de equações baseado na transformação:
Agora, resolveremos esse sistema para encontrar
e
.
Passo 4
Da primeira equação, temos
. Substituindo esse valor na segunda equação:
Então, se
, da primeira equação
.
Passo 5
Isso significa que a única solução para
é
e
. Não existe nenhum vetor diferente de zero que, ao ser transformado por
, dê zero.
Passo 6
Como não encontramos nenhum vetor não nulo que seja mapeado para zero, concluímos que a transformação
é injetora.
Resposta
A transformação
é injetora.