Determine se a transformação linear dada é ou não injetora, se não for encontre um vetor não nulo cuja imagem seja zero.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se uma transformação linear , definida por , é injetora. Se não for, precisamos encontrar um vetor não nulo que, quando aplicado na transformação, dá zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares e injetividade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a transformação ser injetora. Uma transformação linear é injetora se cada vetor no espaço de chegada é imagem de no máximo um vetor no espaço de partida. Basicamente, não pode ter dois vetores diferentes que apontam para o mesmo lugar após a transformação.
Para verificar isso, precisamos analisar se a única solução para é e . Se existir outro vetor diferente de zero que satisfaça essa equação, a transformação não é injetora.

Passo 3

Vamos montar o sistema de equações baseado na transformação:
Agora, resolveremos esse sistema para encontrar e .

Passo 4

Da primeira equação, temos . Substituindo esse valor na segunda equação:
Então, se , da primeira equação .

Passo 5

Isso significa que a única solução para é e . Não existe nenhum vetor diferente de zero que, ao ser transformado por , dê zero.

Passo 6

Como não encontramos nenhum vetor não nulo que seja mapeado para zero, concluímos que a transformação é injetora.

Resposta

A transformação é injetora.

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(d) .
Responda Verdadeiro ou Falso. Se verdadeiro apresente uma justificativa usando as propriedades de matrizes; se falso, dê um exemplo mostrando o contrário. (i) Se é uma matriz simétrica de ordem , então .
Se A é uma matriz triangular inferior de ordem , determine .