Por meio de uma rotação e translação de eixos reduzir as equações das cônicas a seguir a sua forma mais simples. Traçar a curva, apresentando os três sistemas de eixos coordenados.
(d)
.
(d)
Passo 1
Primeiro, vamos pegar a equação da cônica que temos:
Nosso objetivo aqui é simplificar essa equação usando rotação e translação dos eixos coordenados. Isso vai nos ajudar a identificar melhor o tipo de cônica representada e facilitar o desenho da curva.
Passo 2
O primeiro passo para simplificar a equação é eliminar o termo com
, que indica uma inclinação na cônica. Para fazer isso, vamos rotacionar os eixos coordenados. A rotação de eixos ajuda a remover o termo de produto
transformando a equação para um sistema onde a cônica está alinhada com os novos eixos.
Passo 3
Para encontrar o ângulo de rotação
que vai eliminar o termo
, usamos a seguinte fórmula:
onde na nossa equação,
,
e
.
Substituindo esses valores:
Isso significa que
, então
.
Passo 4
Agora que sabemos que vamos rotacionar os eixos em
, aplicamos as fórmulas de rotação para mudar de
para
:
Com
, temos
.
Passo 5
Substituindo essas expressões na equação original:
Ao expandir e simplificar, o termo
será eliminado.
Passo 6
Após simplificar toda a expressão, a equação ficará sem o termo
, resultando em uma equação que depende apenas de
e
de forma quadrática e linear.
Passo 7
O próximo passo é completar os quadrados para eliminar os termos lineares
e
. Isso nos permitirá identificar a forma padrão da cônica, seja ela uma elipse, hipérbole ou parábola.
Passo 8
Finalmente, após completar os quadrados, chegamos à forma mais simples da equação da cônica no novo sistema de coordenadas
. Com essa forma simplificada, é mais fácil traçar a curva e entender suas características principais.
Resposta
Após realizar a rotação de
e a translação adequada dos eixos coordenados, a equação da cônica se simplifica para a sua forma padrão, permitindo identificar claramente o tipo de cônica e suas principais características. O traçado da curva nos três sistemas de eixos coordenados mostrará como a rotação e a translação alinharam a cônica com os eixos simplificados.
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para que a equação
represente
a) uma esfera.
b) um ponto.
c) um conjunto vazio.
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(f) e
(f)
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e
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.
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