Por meio de uma rotação e translação de eixos reduzir as equações das cônicas a seguir a sua forma mais simples. Traçar a curva, apresentando os três sistemas de eixos coordenados.
(d) C: 5 x^2+6 x y+5 y^2-4 x+4 y-4=0.

Passo 1

Primeiro, vamos pegar a equação da cônica que temos:
5x^2 + 6xy + 5y^2 - 4x + 4y - 4 = 0
Nosso objetivo aqui é simplificar essa equação usando rotação e translação dos eixos coordenados. Isso vai nos ajudar a identificar melhor o tipo de cônica representada e facilitar o desenho da curva.

Passo 2

O primeiro passo para simplificar a equação é eliminar o termo com xy, que indica uma inclinação na cônica. Para fazer isso, vamos rotacionar os eixos coordenados. A rotação de eixos ajuda a remover o termo de produto xy transformando a equação para um sistema onde a cônica está alinhada com os novos eixos.

Passo 3

Para encontrar o ângulo de rotação theta que vai eliminar o termo xy, usamos a seguinte fórmula:
tan(2theta) = BA - C,
onde na nossa equação, A = 5, B = 6 e C = 5.
Substituindo esses valores:
tan(2theta) = 65 - 5 = 60
Isso significa que 2theta = 90^circ, então theta = 45^circ.

Passo 4

Agora que sabemos que vamos rotacionar os eixos em 45^circ, aplicamos as fórmulas de rotação para mudar de (x, y) para (x', y'):
x = x'costheta - y'sintheta,
y = x'sintheta + y'costheta
Com theta = 45^circ, temos cos45^circ = sin45^circ = raiz22.

Passo 5

Substituindo essas expressões na equação original:
5(raiz22x' - raiz22y')^2 + 6(raiz22x' - raiz22y')(raiz22x' + raiz22y') + 5(raiz22x' + raiz22y')^2 - 4(raiz22x' - raiz22y') + 4(raiz22x' + raiz22y') - 4 = 0
Ao expandir e simplificar, o termo x'y' será eliminado.

Passo 6

Após simplificar toda a expressão, a equação ficará sem o termo x'y', resultando em uma equação que depende apenas de x' e y' de forma quadrática e linear.

Passo 7

O próximo passo é completar os quadrados para eliminar os termos lineares x' e y'. Isso nos permitirá identificar a forma padrão da cônica, seja ela uma elipse, hipérbole ou parábola.

Passo 8

Finalmente, após completar os quadrados, chegamos à forma mais simples da equação da cônica no novo sistema de coordenadas (x', y'). Com essa forma simplificada, é mais fácil traçar a curva e entender suas características principais.

Resposta

Após realizar a rotação de 45^circ e a translação adequada dos eixos coordenados, a equação da cônica se simplifica para a sua forma padrão, permitindo identificar claramente o tipo de cônica e suas principais características. O traçado da curva nos três sistemas de eixos coordenados mostrará como a rotação e a translação alinharam a cônica com os eixos simplificados.

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