Determine o conjunto de valores reais de
para que a equação
represente
a) uma esfera.
b) um ponto.
c) um conjunto vazio.
a) uma esfera.
b) um ponto.
c) um conjunto vazio.
Passo 1
Então, a gente tem essa equação
. O objetivo é descobrir para quais valores de
essa equação representa:
a) uma esfera,
b) um ponto,
c) nenhum conjunto (vazio).
a) uma esfera,
b) um ponto,
c) nenhum conjunto (vazio).
Vamos precisar conhecer como completar o quadrado para transformar a equação em uma forma padrão de uma esfera e entender as condições para que a equação tenha soluções reais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de forma a completar o quadrado para cada variável.
A equação dada é:
Vamos completar o quadrado para
,
e
:
Para
:
Para
:
Para
:
Substituindo de volta na equação:
Simplificando:
Passo 3
Agora que temos a equação na forma
, vamos analisar cada caso:
a) Para representar uma esfera:
A equação de uma esfera é , onde
é o raio real e positivo.
A equação de uma esfera é
Portanto,
deve ser maior que zero:
Passo 4
b) Para representar um ponto:
Um ponto é uma esfera com raio zero. Então, :
Um ponto é uma esfera com raio zero. Então,
Passo 5
c) Para representar um conjunto vazio:
Não existe uma esfera com raio imaginário, então deve ser menor que zero:
Não existe uma esfera com raio imaginário, então
Resposta
a)
b)
c)