Determine o conjunto de valores reais de lambda para que a equação x^2+y^2+z^2-6 x-2 y-4 z=lambda-5 represente
a) uma esfera.
b) um ponto.
c) um conjunto vazio.

Passo 1

Então, a gente tem essa equação . O objetivo é descobrir para quais valores de essa equação representa:
a) uma esfera,
b) um ponto,
c) nenhum conjunto (vazio).
Vamos precisar conhecer como completar o quadrado para transformar a equação em uma forma padrão de uma esfera e entender as condições para que a equação tenha soluções reais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma a completar o quadrado para cada variável.
A equação dada é:
x^2 + y^2 + z^2 - 6x - 2y - 4z = lambda - 5
Vamos completar o quadrado para x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9, y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1 e z^2 - 4z = (z - 2)^2 - 4:
Para (x - 3)^2 - 9 + (y - 1)^2 - 1 + (z - 2)^2 - 4 = lambda - 5:
(x - 3)^2 + (y - 1)^2 + (z - 2)^2 = lambda - 5 + 9 + 1 + 4
Para (x - 3)^2 + (y - 1)^2 + (z - 2)^2 = lambda + 9:
Para :
Substituindo de volta na equação:
Simplificando:

Passo 3

Agora que temos a equação na forma lambda + 9 > 0, vamos analisar cada caso:
a) Para representar uma esfera:
A equação de uma esfera é lambda > -9, onde é o raio real e positivo.
Portanto, deve ser maior que zero:

Passo 4

b) Para representar um ponto:
Um ponto é uma esfera com raio zero. Então, lambda + 9 = 0:
lambda = -9

Passo 5

c) Para representar um conjunto vazio:
Não existe uma esfera com raio imaginário, então lambda + 9 < 0 deve ser menor que zero:
lambda < -9

Resposta

a)
b)
c)

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