Ache as equaçoes canonicas de:
b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente achar as equações canônicas da equação . Isso faz parte do estudo das seções cônicas na matemática. Para resolver, vamos precisar identificar a natureza da cônica e então realizar uma rotação de eixos pra eliminar o termo , chegando nas formas canônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de cônica que estamos lidando. A equação geral de uma cônica é . No nosso caso, temos , , , e . Para identificar se é uma elipse, hipérbole ou parábola, usamos o discriminante .

Passo 3

Calculando o discriminante: . Como , sabemos que a cônica é uma elipse.

Passo 4

Para eliminar o termo e encontrar a equação canônica, precisamos fazer uma rotação de coordenadas. A ideia é girar os eixos em um ângulo tal que o coeficiente do termo na nova equação seja zero.

Passo 5

O ângulo dessa rotação é dado por . No nosso caso, , o que sugere que , então .

Passo 6

Com , as novas coordenadas e estão relacionadas com as antigas por:
Substituindo :

Passo 7

Agora, substituímos e na equação original:

Passo 8

Simplificando os termos:

Passo 9

Distribuindo e somando os termos:
Os termos com se cancelam:

Passo 10

Dividindo ambos os lados por 1 para deixar na forma padrão:

Resposta

As equações canônicas são:

Exercícios relacionados

Verifique se os conjuntos de vetores abaixo geram :
c)
Verifique se os conjuntos de vetores abaixo geram :
b)
Expresse os polinômios abaixo como uma combinação linear de ,
e
c) 0
Identifique o tipo de seção cônica e encontre os principais elementos de cada uma delas (vértices, assíntotas, focos, centros). Esboce-as.