Ache as equaçoes canonicas de:
b) 3 x^2+2 x y+3 y^2=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente achar as equações canônicas da equação . Isso faz parte do estudo das seções cônicas na matemática. Para resolver, vamos precisar identificar a natureza da cônica e então realizar uma rotação de eixos pra eliminar o termo , chegando nas formas canônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de cônica que estamos lidando. A equação geral de uma cônica é . No nosso caso, temos , , , e . Para identificar se é uma elipse, hipérbole ou parábola, usamos o discriminante .

Passo 3

Calculando o discriminante: . Como , sabemos que a cônica é uma elipse.

Passo 4

Para eliminar o termo e encontrar a equação canônica, precisamos fazer uma rotação de coordenadas. A ideia é girar os eixos em um ângulo tal que o coeficiente do termo na nova equação seja zero.

Passo 5

O ângulo dessa rotação é dado por . No nosso caso, , o que sugere que , então .

Passo 6

Com x = x' costheta - y' sintheta , as novas coordenadas y = x' sintheta + y' costheta e x = raiz22x' - raiz22y' estão relacionadas com as antigas por:
y = raiz22x' + raiz22y'
Substituindo :

Passo 7

Agora, substituímos 3(raiz22x' - raiz22y')^2 + 2(raiz22x' - raiz22y')(raiz22x' + raiz22y') + 3(raiz22x' + raiz22y')^2 = 1 e na equação original:

Passo 8

Simplificando os termos:
3 cdot 12(x'^2 - 2x'y' + y'^2) + 2 cdot 12(x'^2 - y'^2) + 3 cdot 12(x'^2 + 2x'y' + y'^2) = 1
32(x'^2 - 2x'y' + y'^2) + (x'^2 - y'^2) + 32(x'^2 + 2x'y' + y'^2) = 1

Passo 9

Distribuindo e somando os termos:
32x'^2 - 3x'y' + 32y'^2 + x'^2 - y'^2 + 32x'^2 + 3x'y' + 32y'^2 = 1
Os termos com (32 + 1 + 32)x'^2 + (32 -1 + 32)y'^2 = 1 se cancelam:
4x'^2 + 2y'^2 = 1

Passo 10

Dividindo ambos os lados por 1 para deixar na forma padrão:
x'^214 + y'^212 = 1

Resposta

As equações canônicas são:
x'^2dfrac14 + y'^2dfrac12 = 1

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