Ache as equaçoes canonicas de:
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente achar as equações canônicas da equação
. Isso faz parte do estudo das seções cônicas na matemática. Para resolver, vamos precisar identificar a natureza da cônica e então realizar uma rotação de eixos pra eliminar o termo
, chegando nas formas canônicas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo de cônica que estamos lidando. A equação geral de uma cônica é
. No nosso caso, temos
,
,
, e
. Para identificar se é uma elipse, hipérbole ou parábola, usamos o discriminante
.
Passo 3
Calculando o discriminante:
. Como
, sabemos que a cônica é uma elipse.
Passo 4
Para eliminar o termo
e encontrar a equação canônica, precisamos fazer uma rotação de coordenadas. A ideia é girar os eixos em um ângulo
tal que o coeficiente do termo
na nova equação seja zero.
Passo 5
O ângulo
dessa rotação é dado por
. No nosso caso,
, o que sugere que
, então
.
Passo 6
Com
, as novas coordenadas
e
estão relacionadas com as antigas por:
Substituindo
:
Passo 7
Agora, substituímos
e
na equação original:
Passo 8
Simplificando os termos:
Passo 9
Distribuindo e somando os termos:
Os termos com
se cancelam:
Passo 10
Dividindo ambos os lados por 1 para deixar na forma padrão:
Resposta
As equações canônicas são:
Exercícios relacionados
Verifique se os conjuntos de vetores abaixo geram
:
c)
c)
Verifique se os conjuntos de vetores abaixo geram
:
b)
b)
Expresse os polinômios abaixo como uma combinação linear de
,
e
c) 0
c) 0
Identifique o tipo de seção cônica e encontre os principais elementos de cada uma delas (vértices, assíntotas, focos, centros). Esboce-as.