Expresse os polinômios abaixo como uma combinação linear de p1(x)=2+x+4 x^2,
p2(x)=1-x+3 x^2 e p3(x)=3+2 x+5 x^2
c) 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa expressar o polinômio zero como uma combinação linear dos polinômios , e . Isso está relacionado ao estudo de combinações lineares e sistemas de equações na matemática. Vamos precisar encontrar coeficientes para cada polinômio que, quando multiplicados e somados, resultem em zero.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a combinação linear dos três polinômios igual a zero:
a cdot p1(x) + b cdot p2(x) + c cdot p3(x) = 0
Substituindo os polinômios:
a cdot (2 + x + 4x^2) + b cdot (1 - x + 3x^2) + c cdot (3 + 2x + 5x^2) = 0

Passo 3

Vamos expandir essa expressão:
2a + a x + 4a x^2 + b - b x + 3b x^2 + 3c + 2c x + 5c x^2 = 0
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
(2a + b + 3c) + (a - b + 2c) x + (4a + 3b + 5c) x^2 = 0

Passo 4

Para que essa igualdade seja válida para todo 2a + b + 3c = 0 a - b + 2c = 0 4a + 3b + 5c = 0 , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Então, temos o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 5

Primeiro, da segunda equação, podemos expressar a = b - 2c em termos de 2(b - 2c) + b + 3c = 0 2b - 4c + b + 3c = 0 3b - c = 0 c = 3b e :
Substituindo esse valor de na primeira equação:

Passo 6

Agora, substituímos a = b - 2(3b) a = b - 6b a = -5b na expressão de 4(-5b) + 3b + 5(3b) = 0 -20b + 3b + 15b = 0 (-20 + 3 + 15)b = 0 -2b = 0 b = 0 :
Substituindo e na terceira equação:

Passo 7

Com c = 3b = 0 a = -5b = 0 , encontramos:

Resposta

A única combinação linear que satisfaz a equação é , e .

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