Expresse os polinômios abaixo como uma combinação linear de , e
c) 0
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa expressar o polinômio zero como uma combinação linear dos polinômios , e . Isso está relacionado ao estudo de combinações lineares e sistemas de equações na matemática. Vamos precisar encontrar coeficientes para cada polinômio que, quando multiplicados e somados, resultem em zero.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a combinação linear dos três polinômios igual a zero:
Substituindo os polinômios:
Passo 3
Vamos expandir essa expressão:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 4
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Então, temos o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Passo 5
Primeiro, da segunda equação, podemos expressar a = b - 2c em termos de 2(b - 2c) + b + 3c = 0 2b - 4c + b + 3c = 0 3b - c = 0 c = 3b e :
Substituindo esse valor de na primeira equação:
Passo 6
Agora, substituímos a = b - 2(3b) a = b - 6b a = -5b na expressão de 4(-5b) + 3b + 5(3b) = 0 -20b + 3b + 15b = 0 (-20 + 3 + 15)b = 0 -2b = 0 b = 0 :
Substituindo e na terceira equação:
Passo 7
Com c = 3b = 0 a = -5b = 0 , encontramos:
Resposta
A única combinação linear que satisfaz a equação é , e .