Expresse os polinômios abaixo como uma combinação linear de , e
c) 0
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa expressar o polinômio zero como uma combinação linear dos polinômios , e . Isso está relacionado ao estudo de combinações lineares e sistemas de equações na matemática. Vamos precisar encontrar coeficientes para cada polinômio que, quando multiplicados e somados, resultem em zero.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a combinação linear dos três polinômios igual a zero:
Substituindo os polinômios:
Passo 3
Vamos expandir essa expressão:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 4
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Então, temos o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Passo 5
Primeiro, da segunda equação, podemos expressar em termos de e :
Substituindo esse valor de na primeira equação:
Passo 6
Agora, substituímos na expressão de :
Substituindo e na terceira equação:
Passo 7
Com , encontramos:
Resposta
A única combinação linear que satisfaz a equação é , e .