Verifique se os conjuntos de vetores abaixo geram R^3 :
c) (2,1,-2),(-2,-1,2),(4,2,-4)

Passo 1

Beleza! Vamos lá: a questão pede para verificar se o conjunto de vetores gera . Isso está no campo da Álgebra Linear, onde queremos saber se esses vetores conseguem “preencher” todo o espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar analisar se os vetores são linearmente independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada nos vetores que temos:
v1 = (2,, 1,, -2), v2 = (-2,, -1,, 2), v3 = (4,, 2,, -4)
Vamos verificar se algum dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros.

Passo 3

Observando v3 = 2 times v1 , percebemos que:
Isso significa que o terceiro vetor é apenas o dobro do primeiro vetor. Em termos de dependência linear, isso indica que não traz nenhuma “novidade” para o conjunto, já que ele está totalmente determinado por .

Passo 4

Como um dos vetores é múltiplo de outro, isso mostra que os três vetores não são linearmente independentes. Para que um conjunto de vetores gere , ele precisa ter exatamente três vetores linearmente independentes. No nosso caso, como temos dependência linear, o conjunto não consegue preencher todo o espaço tridimensional.

Resposta

Não, o conjunto de vetores não gera , pois os vetores são linearmente dependentes.

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