Verifique se os conjuntos de vetores abaixo geram R^3 :
b) (2,1,-2),(3,2,-2),(2,2,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para verificar se o conjunto de vetores (2,1,-2),(3,2,-2),(2,2,0) gera o espaço R^3. Isso significa que queremos saber se, combinando esses vetores de alguma maneira, conseguimos alcançar qualquer ponto em três dimensões. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinante e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar esses vetores em uma matriz. Cada vetor será uma coluna dessa matriz:
A = 2 & 3 & 2 1 & 2 & 2 -2 & -2 & 0
Para saber se esses vetores geram R^3, precisamos verificar se essa matriz tem determinante diferente de zero. Se tiver, significa que os vetores são linearmente independentes e, portanto, geram todo o espaço.

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz A. O determinante para uma matriz 3 times 3 é dado por:
det(A) = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)
Onde os elementos da matriz são:
A = a & b & c d & e & f g & h & i
Aplicando isso à nossa matriz:
det(A) = 2(2 cdot 0 - (-2) cdot 2) - 3(1 cdot 0 - (-2) cdot 2) + 2(1 cdot (-2) - 2 cdot 2)
det(A) = 2(0 + 4) - 3(0 + 4) + 2(-2 - 4)
det(A) = 2 cdot 4 - 3 cdot 4 + 2 cdot (-6)
det(A) = 8 - 12 - 12 = -16

Resposta

O determinante de A é -16, que é diferente de zero. Portanto, os vetores (2,1,-2),(3,2,-2),(2,2,0) geram R^3.

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