Verifique se os conjuntos de vetores abaixo geram :
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para verificar se o conjunto de vetores gera o espaço . Isso significa que queremos saber se, combinando esses vetores de alguma maneira, conseguimos alcançar qualquer ponto em três dimensões. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinante e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar esses vetores em uma matriz. Cada vetor será uma coluna dessa matriz:
Para saber se esses vetores geram , precisamos verificar se essa matriz tem determinante diferente de zero. Se tiver, significa que os vetores são linearmente independentes e, portanto, geram todo o espaço.
Passo 3
Vamos calcular o determinante da matriz . O determinante para uma matriz é dado por:
Onde os elementos da matriz são:
Aplicando isso à nossa matriz:
Resposta
O determinante de é , que é diferente de zero. Portanto, os vetores geram .